设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

admin2017-07-26 85

问题设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

选项

答案由于n阶方阵A有n个互不相同的特征值，故A有n个线性无关的特征向量，若A与B有相同的特征向量，则n阶方阵B有n个线性无关的特征向量，故B相似于对角矩阵．设α为A的特征向量，对应的特征值为λ，则Aα=λα，两端左乘B，并利用AB=BA，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量，由题设条件知λ为单特征值，因此向量α及Bα又成比例，即存在数μ，使得Bα=μα，因此α也是B的特征向量；若Bα=0，则Bα=0α，即α为B属于特征值0的特征向量，总之，α必为B的特征向量．由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量，同理可证B的特征向量也都是A的特征向量，所以A与B有相同的特征向量．

解析

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考研数学三

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设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

考研数学三

设A，B为同阶可逆矩阵，则()．

甲袋中有5只白球，5只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，5只红球，10只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为_____．

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是()．

计算曲线积分：

求幂级数的和函数f(x)及其极值。

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a＋b)≤f(a)＋f(b)，其中常数，a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x—sinx，当x=0时，比较这两个无穷小的关系．

求y=(1一t)arctantdt的极值．

设∫0yetdt+∫0xcostdt=xy确定函数y=y(x)，则=______．

自首必须具备的条件是(　　　)。

()是针对风险识别和量化的结果，为了提升实现项目目标的机会，降低风险对项目目标的威胁，而制定风险应对策略和技术手段的过程。

深圳证券交易所中小企业板块的交易由独立于主板市场交易系统的第二交易系统承担，这是指()。

请说明高校教师在服务社会中应正确处理好哪几种关系。

在教育活动中，教师负责组织引导学生沿着正确的方向，采用科学的方法，获得良好的发展。这句话的意思是()。

2015年一季度全国租赁贸易进出口总额较上一季度约：

近年来，粉尘爆炸事件屡见不鲜。下列粉尘中不容易引起爆炸的是：

从使用者的角度看，Internet是一个()。

有三个关系R、S和T如下：　　则由关系R和关系s得到关系T的操作是()。

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求幂级数的和函数f(x)及其极值。

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a＋b)≤f(a)＋f(b)，其中常数，a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x—sinx，当x=0时，比较这两个无穷小的关系．

求y=(1一t)arctantdt的极值．

设∫0yetdt+∫0xcostdt=xy确定函数y=y(x)，则=______．

自首必须具备的条件是( )。

()是针对风险识别和量化的结果，为了提升实现项目目标的机会，降低风险对项目目标的威胁，而制定风险应对策略和技术手段的过程。

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