设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

admin2017-07-26 61

问题设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

选项

答案由于n阶方阵A有n个互不相同的特征值，故A有n个线性无关的特征向量，若A与B有相同的特征向量，则n阶方阵B有n个线性无关的特征向量，故B相似于对角矩阵．设α为A的特征向量，对应的特征值为λ，则Aα=λα，两端左乘B，并利用AB=BA，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量，由题设条件知λ为单特征值，因此向量α及Bα又成比例，即存在数μ，使得Bα=μα，因此α也是B的特征向量；若Bα=0，则Bα=0α，即α为B属于特征值0的特征向量，总之，α必为B的特征向量．由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量，同理可证B的特征向量也都是A的特征向量，所以A与B有相同的特征向量．

解析

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考研数学三

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设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

考研数学三

A、 B、 C、 D、 A

[*]

某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝15＋14x1＋32x2－8x1x2－2x21－10x22(1)在广告费用不限的情况

设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

设A为三阶实对称矩阵，ξ1=为方程组AX=0的解，ξ2=为方程组(2E—A)X=0的一个解，|E+A|=0，则A=______．

计算二重积分|x2+y2一1|dσ，其中D={(x，y)|0≤x，y≤1}。

求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．

求由方程x2+y3一xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．

设f(x)连续，且=∫0xf(x—t)costdt，求∫01f(x)dx．

关于肺结核处于稳定期的描述下列哪项是不正确的

患者喘逆剐甚，张口抬肩，鼻翼煽张，呼吸困难，不能平卧，心悸，烦躁不安，面唇青紫，汗出肢冷，脉浮大无根。治宜

男，48岁，反酸、烧心5个月。胃镜检查：反流性食管炎伴溃疡形成。最佳的治疗药物是

乳腺癌好发于

主要用于预防Ⅰ型变态反应所致哮喘的药物是(　　　)。

已知沿海某建设项目废气中SO2的等标排放量是3.0×109，则该项目大气的评价等级为()。

在影响消费者行为的因素中,属于个人因素的有()。

保证幼儿每天睡()，其中午睡一般应达到2小时左右。午睡时间可根据幼儿年龄、季节的变化和个体差异适当减少。

眼过千遍不如手过一遍，是贯彻()原则的体现。

市场失灵的主要表现有()。

设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

考研数学三

A、 B、 C、 D、 A

[*]

某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝15＋14x1＋32x2－8x1x2－2x21－10x22(1)在广告费用不限的情况

设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

设A为三阶实对称矩阵，ξ1=为方程组AX=0的解，ξ2=为方程组(2E—A)X=0的一个解，|E+A|=0，则A=______．

计算二重积分|x2+y2一1|dσ，其中D={(x，y)|0≤x，y≤1}。

求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．

求由方程x2+y3一xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．

设f(x)连续，且=∫0xf(x—t)costdt，求∫01f(x)dx．

关于肺结核处于稳定期的描述下列哪项是不正确的

患者喘逆剐甚，张口抬肩，鼻翼煽张，呼吸困难，不能平卧，心悸，烦躁不安，面唇青紫，汗出肢冷，脉浮大无根。治宜

男，48岁，反酸、烧心5个月。胃镜检查：反流性食管炎伴溃疡形成。最佳的治疗药物是

乳腺癌好发于

主要用于预防Ⅰ型变态反应所致哮喘的药物是( )。

已知沿海某建设项目废气中SO2的等标排放量是3.0×109，则该项目大气的评价等级为()。

在影响消费者行为的因素中,属于个人因素的有()。

保证幼儿每天睡()，其中午睡一般应达到2小时左右。午睡时间可根据幼儿年龄、季节的变化和个体差异适当减少。

眼过千遍不如手过一遍，是贯彻()原则的体现。

市场失灵的主要表现有()。

主要用于预防Ⅰ型变态反应所致哮喘的药物是(　　　)。