设A是3阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值分别为1，，则｜A｜中对角线元素的代数余子式之和为_______．

admin2017-12-11 56

问题设A是3阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值分别为1，

，则｜A｜中对角线元素的代数余子式之和为_______．

选项

答案-5

解析设矩阵A=

，｜A｜中对角线元素的代数余子式之和为A₁₁+A₂₂+A₃₃，即为A^*=

中对角线元素之和，根据特征值、特征向量的性质，矩阵的对角线元素之和等于伴随矩阵的特征值之和，所以A₁₁+A₂₂+A₃₃=

其中λ_i是伴随矩阵的特征值．
由已知条件得到矩阵A的特征值为1，-2，3．
且｜A｜=1×(-2)×3=-6，所以伴随矩阵的特征值为

，即为-6，3，-2，所以A₁₁+A₂₂+A₃₃=(-6)+3+(-2)=-5．

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