设A是5×4矩阵，B是四阶矩阵，满足2AB＝A，B是B的伴随矩阵，若A的列向量线性无关，则秩r(B)＝( )。

admin2015-11-16 41

问题设A是5×4矩阵，B是四阶矩阵，满足2AB＝A，B^*是B的伴随矩阵，若A的列向量线性无关，则秩r(B^*)＝( )。

选项 A、0
B、1
C、3
D、4

答案D

解析解一由2AB＝A得A(2B－E)＝0，从而
r(A)＋(2B－E)≤4，
又因A是5×4矩阵，A的列向量线性无关，由此知秩r(A)＝4，从而秩r(2B－E)＝0，即2B－E＝0。
于是B＝

E，r(B)＝r(

E)＝r(E)＝4，故r(B^*)＝4，仅(D)入选。
解二因A为列满秩，故秩(A)＝4，则由2AB＝A得到r(2AB)＝r(A)＝4，而
r(2AB)＝r(AB)＝r(B)，
故 r(B)＝r(2AB)＝r(A)＝4。
于是秩(B^*)＝4，仅(D)入选。

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