2. 考研
  3. 设A是5×4矩阵，B是四阶矩阵，满足2AB＝A，B*是B的伴随矩阵，若A的列向量线性无关，则秩r(B*)＝( )。

设A是5×4矩阵，B是四阶矩阵，满足2AB＝A，B*是B的伴随矩阵，若A的列向量线性无关，则秩r(B*)＝( )。

admin2015-11-16  44
问题 设A是5×4矩阵，B是四阶矩阵，满足2AB＝A，B*是B的伴随矩阵，若A的列向量线性无关，则秩r(B*)＝(     )。
选项 A、0
B、1
C、3
D、4
答案D
解析 解一  由2AB＝A得A(2B－E)＝0，从而
    r(A)＋(2B－E)≤4，
又因A是5×4矩阵，A的列向量线性无关，由此知秩r(A)＝4，从而秩r(2B－E)＝0，即2B－E＝0。
    于是B＝E，r(B)＝r(E)＝r(E)＝4，故r(B*)＝4，仅(D)入选。
    解二  因A为列满秩，故秩(A)＝4，则由2AB＝A得到r(2AB)＝r(A)＝4，而
    r(2AB)＝r(AB)＝r(B)，
故    r(B)＝r(2AB)＝r(A)＝4。
    于是秩(B*)＝4，仅(D)入选。
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考研数学一

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