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设A是5×4矩阵,B是四阶矩阵,满足2AB=A,B*是B的伴随矩阵,若A的列向量线性无关,则秩r(B*)=( )。
设A是5×4矩阵,B是四阶矩阵,满足2AB=A,B*是B的伴随矩阵,若A的列向量线性无关,则秩r(B*)=( )。
admin
2015-11-16
40
问题
设A是5×4矩阵,B是四阶矩阵,满足2AB=A,B
*
是B的伴随矩阵,若A的列向量线性无关,则秩r(B
*
)=( )。
选项
A、0
B、1
C、3
D、4
答案
D
解析
解一 由2AB=A得A(2B-E)=0,从而
r(A)+(2B-E)≤4,
又因A是5×4矩阵,A的列向量线性无关,由此知秩r(A)=4,从而秩r(2B-E)=0,即2B-E=0。
于是B=
E,r(B)=r(
E)=r(E)=4,故r(B
*
)=4,仅(D)入选。
解二 因A为列满秩,故秩(A)=4,则由2AB=A得到r(2AB)=r(A)=4,而
r(2AB)=r(AB)=r(B),
故 r(B)=r(2AB)=r(A)=4。
于是秩(B
*
)=4,仅(D)入选。
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考研数学一
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