设A是5×4矩阵,B是四阶矩阵,满足2AB=A,B*是B的伴随矩阵,若A的列向量线性无关,则秩r(B*)=( )。

admin2015-11-16  40

问题 设A是5×4矩阵,B是四阶矩阵,满足2AB=A,B*是B的伴随矩阵,若A的列向量线性无关,则秩r(B*)=(     )。

选项 A、0
B、1
C、3
D、4

答案D

解析 解一  由2AB=A得A(2B-E)=0,从而
    r(A)+(2B-E)≤4,
又因A是5×4矩阵,A的列向量线性无关,由此知秩r(A)=4,从而秩r(2B-E)=0,即2B-E=0。
    于是B=E,r(B)=r(E)=r(E)=4,故r(B*)=4,仅(D)入选。
    解二  因A为列满秩,故秩(A)=4,则由2AB=A得到r(2AB)=r(A)=4,而
    r(2AB)=r(AB)=r(B),
故    r(B)=r(2AB)=r(A)=4。
    于是秩(B*)=4,仅(D)入选。
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