[2013年] 设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算x2dx dy．

admin2021-01-19 25

问题 [2013年] 设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算

x²dx dy．

选项

答案绘出区域D的图形，需将D分块D=D₁∪D₂，用分块积分法求之．为此先求出直线的交点． [*] 如图1．5．1．9所示，由[*] 由[*] 将D分为D₁与D₂两部分： D₁={(x，y)∣0≤x≤2，[*]≤y≤3x}， D₂={(x，y)∣2≤x≤6，[*]≤y≤8一x}，其中点(2，6)与点(6，2)为直线的交点(见图1．5．1．9)，于是 I=[*]x²dxdy=[*]x²dxdy+[*]x²dxdy=I₁+I₂，其中 I₁=[*]x²dxdy=∫₀²x²dx∫_x/3^3xdy=∫₀²x²(3x—[*])dx =3∫₀²x³dx—[*] I₂=[*]x²dxdy=∫₂⁶x²dx∫_x/3^8-xdy=∫₂⁶x²(8一x一[*])dx =8∫₂⁶x²dx一[*]=128．故I=[*]x²dxdy=I₁+I₂=[*]+128=138[*].

解析

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