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[2013年] 设平面区域D由直线x=3y,y=3x及x+y=8围成,计算x2dx dy.
[2013年] 设平面区域D由直线x=3y,y=3x及x+y=8围成,计算x2dx dy.
admin
2021-01-19
26
问题
[2013年] 设平面区域D由直线x=3y,y=3x及x+y=8围成,计算
x
2
dx dy.
选项
答案
绘出区域D的图形,需将D分块D=D
1
∪D
2
,用分块积分法求之.为此先求出直线的交点. [*] 如图1.5.1.9所示,由[*] 由[*] 将D分为D
1
与D
2
两部分: D
1
={(x,y)∣0≤x≤2,[*]≤y≤3x}, D
2
={(x,y)∣2≤x≤6,[*]≤y≤8一x},其中点(2,6)与点(6,2)为直线的交点(见图1.5.1.9),于是 I=[*]x
2
dxdy=[*]x
2
dxdy+[*]x
2
dxdy=I
1
+I
2
, 其中 I
1
=[*]x
2
dxdy=∫
0
2
x
2
dx∫
x/3
3x
dy=∫
0
2
x
2
(3x—[*])dx =3∫
0
2
x
3
dx—[*] I
2
=[*]x
2
dxdy=∫
2
6
x
2
dx∫
x/3
8-x
dy=∫
2
6
x
2
(8一x一[*])dx =8∫
2
6
x
2
dx一[*]=128. 故I=[*]x
2
dxdy=I
1
+I
2
=[*]+128=138[*].
解析
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