2. 考研
  3. 设函数y=y（x）在（一∞，+∞）内具有二阶导数，且y’≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数。 （Ⅰ）试将x=x（y）所满足的微分方程=0变换为y=y（x）满足的微分方程； （Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0，y’（0）=的特解。

设函数y=y（x）在（一∞，+∞）内具有二阶导数，且y’≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数。 （Ⅰ）试将x=x（y）所满足的微分方程=0变换为y=y（x）满足的微分方程； （Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0，y’（0）=的特解。

admin2017-12-29  101
问题 设函数y=y（x）在（一∞，+∞）内具有二阶导数，且y’≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数。
（Ⅰ）试将x=x（y）所满足的微分方程=0变换为y=y（x）满足的微分方程；
（Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0，y’（0）=的特解。
选项
答案（Ⅰ）由反函数的求导公式知[*]，于是有 [*] 代入原微分方程得 y"一y=sinx。 （Ⅱ）方程（*）所对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C1ex+C2 e—x。 设方程（*）的特解为 y*=Acosx+Bsinx， 代入方程（*），求得A=0，B=[*]，故y*=[*]，因此y"一y=sinx的通解是 y=y+y*=C1ex+C2e—x—[*]sinx。 由y（0）=0，y’（0）=[*]，得C1=1，C2=一1。故所求初值问题的特解为 y=ex—e—x一[*]sinx。
解析
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考研数学三

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