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设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵.若a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11为( )
设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵.若a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11为( )
admin
2018-07-26
33
问题
设矩阵A=(a
ij
)
3×3
满足A
*
=A
T
,其中A
*
为A的伴随矩阵,A
T
为A的转置矩阵.若a
11
,a
12
,a
13
为三个相等的正数,则a
11
为( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
A
解析
由题设条件A
*
=A
T
,即
其中A
ij
为|A|中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1,2,3),得a
ij
=A
ij
(i,j=1,2,3),故有
|A|=
a
1j
A
1j
=
a
1j
2
=
a
11
2
=3a
11
2
>0
再从A
T
=A
*
两端取行列式,得
|A|=|A
T
|=|A
*
|=|A|
2
,即|A|(1-|A|)=0
由此得|A|=1.所以,有
a
11
2
=1/3|A|=1/3,
本题主要考查伴随矩阵的概念及行列式按行(列)展开法则.条件A
T
=A
*
与条件a
ij
=A
ij
(对所有的i,j)是等价的.本题还用到伴随矩阵的一个结果:对任何n(n≥2)阶方阵A,成立|A
*
|=|A|
-1
.
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考研数学三
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