2. 考研
  3. 设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为( )

设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为( )

admin2018-07-26  54
问题 设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案A
解析 由题设条件A*=AT，即

其中Aij为|A|中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，3)，得aij=Aij(i，j=1，2，3)，故有
|A|=a1jA1j=a1j2=a112=3a112＞0
再从AT=A*两端取行列式，得
|A|=|AT|=|A*|=|A|2，即|A|(1－|A|)=0
由此得|A|=1．所以，有
a112=1／3|A|=1／3，
本题主要考查伴随矩阵的概念及行列式按行(列)展开法则．条件AT=A*与条件aij=Aij(对所有的i，j)是等价的．本题还用到伴随矩阵的一个结果：对任何n(n≥2)阶方阵A，成立|A*|=|A|－1．
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考研数学三

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