2. 考研
  3. 设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx＝∫0πf(x)sincxdx＝0．证明： 存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)＝0．

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx＝∫0πf(x)sincxdx＝0．证明： 存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)＝0．

admin2017-12-31  28
问题 设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx＝∫0πf(x)sincxdx＝0．证明：
存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)＝0．
选项
答案令F(x)＝f(t)sintdt，因为F(0)＝F(π)＝0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)＝0，即f(x1)sinx1＝0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)＝0． 设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x－x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x－x1)f(x)dx≠0． 而∫0πsin(x－x1)f(x)dx＝cosx1∫0πf(x)sinxdx－sinx1∫0π f(x)cosxdx＝0，矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x1)＝f(x2)＝0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x1，x2)[*](0，π)，使得f’(ξ)＝0．
解析
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考研数学三

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