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设函数f0(x)在(-∞,+∞)内连续,fn(x)=∫0xfn-1(t)dt(n=1,2,…). 证明:fn(x)=∫0xf0(t)(x-t)n-1dt(n=1,2,…)
设函数f0(x)在(-∞,+∞)内连续,fn(x)=∫0xfn-1(t)dt(n=1,2,…). 证明:fn(x)=∫0xf0(t)(x-t)n-1dt(n=1,2,…)
admin
2019-09-27
9
问题
设函数f
0
(x)在(-∞,+∞)内连续,f
n
(x)=∫
0
x
f
n-1
(t)dt(n=1,2,…).
证明:f
n
(x)=
∫
0
x
f
0
(t)(x-t)
n-1
dt(n=1,2,…)
选项
答案
n=1时,f
1
(x)=∫
0
x
f
0
(t)dt,等式成立; 设n=k时,f
k
(x)=[*], 则n=k+1时, f
k+1
(x)=∫
0
x
f
k
(t)dt=[*]f
0
(u)(t-u)
k-1
du =[*]∫
0
x
du∫
u
x
f
0
(u)(t-u)
k-1
dt=[*]∫
0
x
f
0
(u)(x-u)
k
du 由归纳法得f
n
(x)=[*]∫
0
x
f
0
(t)(x-t)
n-1
dt(n=1,2,…)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nIS4777K
0
考研数学一
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