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  3. 设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)=∫0xfn－1(t)dt(n=1，2，…)． 证明：fn(x)=∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n=1，2，…)

设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)=∫0xfn－1(t)dt(n=1，2，…)． 证明：fn(x)=∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n=1，2，…)

admin2019-09-27  19
问题 设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)=∫0xfn－1(t)dt(n=1，2，…)．
证明：fn(x)=∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n=1，2，…)
选项
答案n=1时，f1(x)=∫0xf0(t)dt，等式成立； 设n=k时，fk(x)=[*]， 则n=k+1时， fk+1(x)=∫0xfk(t)dt=[*]f0(u)(t－u)k－1du =[*]∫0xdu∫uxf0(u)(t－u)k－1dt=[*]∫0xf0(u)(x－u)kdu 由归纳法得fn(x)=[*]∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n=1，2，…)
解析
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考研数学一

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