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设f(x)有二阶连续导数,且f′(0)=0,=1,则( ).
设f(x)有二阶连续导数,且f′(0)=0,=1,则( ).
admin
2019-04-05
26
问题
设f(x)有二阶连续导数,且f′(0)=0,
=1,则( ).
选项
A、f(0)是f(x)的极大值
B、f(0)是f(x)的极小值
C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点
D、f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
答案
B
解析
利用极限性质即命题1.2.5.2判别,也可用泰勒公式分析讨论(因函数二阶可导).此外,还可利用一阶导数符号判别.
解一 f″(0)=
=0.由
=1的保号性知,在x=0的某去心邻域内,有f″(x)/∣x∣>0,从而f″(x)>0.曲线为凹,说明(0,f(0))不是拐点,排除(C).又由f′(0)=0及泰勒公式f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(ξ)x
2
/2,得到
f(x)一f(0)=f″(ξ)x
2
/2>0,
再由极小值的定义知,f(0)为极小值.仅(B)入选.
解二 由极限的保号性知,在x=0的空心邻域内有f″(x)/∣x∣>0.
因而在x=0的空心邻域内f″(x)>0,于是f′(x)单调增.又f′(0)=0,则
当x<0时,f′(x)<f′(0)=0;当x>0时,f′(x)>f′(0)=0.由极值的一阶导数判别法知,f(0)是f(x)的极小值.仅(B)入选.
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考研数学二
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