[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．

admin2019-05-10 49

问题 [2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A³=0，则( )．

选项 A、E—A不可逆，E+A不可逆
B、E—A不可逆，E+A可逆
C、E一A可逆，E+A可逆
D、E—A可逆，E+A不可逆

答案C

解析利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．
解一易求得 (E—A)(E+A+A²)=E—A³=E，
(E+A)(E－A+A²)=E+A³=E．
由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．
解二由A³=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ₁=λ₂=…=λ_n=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ₁=μ₂=…=μ_n=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．

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