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[2008年] 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A3=0,则( ).
[2008年] 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A3=0,则( ).
admin
2019-05-10
43
问题
[2008年] 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A
3
=0,则( ).
选项
A、E—A不可逆,E+A不可逆
B、E—A不可逆,E+A可逆
C、E一A可逆,E+A可逆
D、E—A可逆,E+A不可逆
答案
C
解析
利用命题2.2.1.4及命题2.1.2.6求之.
解一 易求得 (E—A)(E+A+A
2
)=E—A
3
=E,
(E+A)(E-A+A
2
)=E+A
3
=E.
由命题2.2.1.4知E一A可逆,E+A也可逆.仅(C)入选.
解二 由A
3
=O知A为幂零矩阵,故其特征值λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=0,因而E—A与E+A的n个特征值均为μ
1
=μ
2
=…=μ
n
=1,故E一A与E+A没有零特征值,由命题2.1.2.6知,它们均可逆.仅(C)入选.
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考研数学二
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