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设函数f(x)可导,且f’(x)>0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M的切线与x轴交于T,又MP垂直x轴于点P.已知由曲线y=f(x),直线MP及x轴所围成的面积与△MTP的面积之比为3:2,求满足上述条件的曲线的方程.
设函数f(x)可导,且f’(x)>0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M的切线与x轴交于T,又MP垂直x轴于点P.已知由曲线y=f(x),直线MP及x轴所围成的面积与△MTP的面积之比为3:2,求满足上述条件的曲线的方程.
admin
2022-09-22
105
问题
设函数f(x)可导,且f’(x)>0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M的切线与x轴交于T,又MP垂直x轴于点P.已知由曲线y=f(x),直线MP及x轴所围成的面积与△MTP的面积之比为3:2,求满足上述条件的曲线的方程.
选项
答案
设切点M坐标为(x,y),则过M的切线方程为 Y-y=y’(X-x). 令Y=0得X=x-[*].由题意得 [*] 整理并求导得3yy”-2y’=0. 令y’=P,[*]代入上式得 [*] 解得p=C
1
y
2/3
, 即y’=C
1
y
2/3
. [*]=C
1
dx,3y
1/3
=C
1
x+C
2
由y(0)=0得C
2
=0, 3y
1/3
=C
1
x, y=Cx
3
(C>0).
解析
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考研数学二
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