设函数f(x)可导,且f’(x)＞0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP及x轴所围成的面积与△MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程.

admin2022-09-22 69

问题设函数f(x)可导,且f’(x)＞0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP及x轴所围成的面积与△MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程.

选项

答案设切点M坐标为(x，y)，则过M的切线方程为 Y-y=y’(X-x)．令Y=0得X=x-[*]．由题意得 [*] 整理并求导得3yy”-2y’=0．令y’=P，[*]代入上式得 [*] 解得p=C₁y^2／3，即y’=C₁y^2／3． [*]=C₁dx，3y^1／3=C₁x+C₂ 由y(0)=0得C₂=0， 3y^1／3=C₁x， y=Cx³(C＞0)．

解析

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考研数学二

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设函数f(x)可导,且f’(x)＞0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P．已知由曲线y=f(x)，直线MP及x轴所围成的面积与△MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程.

考研数学二

＝_______．

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设y=y(x)是由=________。

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计算极限：

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