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  3. 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝0，则

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝0，则

admin2014-01-26  21
问题 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝0，则
选项 A、E—A不可逆，E＋A不可逆．   
B、E—A不可逆，E＋A可逆．
C、E—A可逆，E＋A可逆．   
D、E—A可逆，E＋A不可逆．   
答案C
解析 [分析]  利用逆矩阵的定义或特征值进行讨论．
    [详解1]  由A3＝0得  E＝E—A3＝(E—A)(E＋A＋A2)，
    E＝E＋A3＝(E＋A)(E—A＋A2)．
所以E—A，E＋A均可逆．故选(C)．
[详解2]  由A3＝0知，A的任意特征值λ必满足λ3＝0，即λ＝0为A的n重特征值，于是λ＝1为E—A和E＋A的n重特征值，即E—A和E＋A都没有零特征值．所以E—A，E＋A均可逆．故选(C)．
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考研数学二

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