设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A3=0,则

admin2014-01-26  19

问题 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A3=0,则

选项 A、E—A不可逆,E+A不可逆.   
B、E—A不可逆,E+A可逆.
C、E—A可逆,E+A可逆.   
D、E—A可逆,E+A不可逆.   

答案C

解析 [分析]  利用逆矩阵的定义或特征值进行讨论.
    [详解1]  由A3=0得  E=E—A3=(E—A)(E+A+A2),
    E=E+A3=(E+A)(E—A+A2).
所以E—A,E+A均可逆.故选(C).
[详解2]  由A3=0知,A的任意特征值λ必满足λ3=0,即λ=0为A的n重特征值,于是λ=1为E—A和E+A的n重特征值,即E—A和E+A都没有零特征值.所以E—A,E+A均可逆.故选(C).
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