设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝0，则

admin2014-01-26 53

问题设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A³＝0，则

选项 A、E—A不可逆，E＋A不可逆．
B、E—A不可逆，E＋A可逆．
C、E—A可逆，E＋A可逆．
D、E—A可逆，E＋A不可逆．

答案C

解析 [分析]  利用逆矩阵的定义或特征值进行讨论．
[详解1]  由A³＝0得  E＝E—A³＝(E—A)(E＋A＋A²)，
E＝E＋A³＝(E＋A)(E—A＋A²)．
所以E—A，E＋A均可逆．故选(C)．
[详解2]  由A³＝0知，A的任意特征值λ必满足λ³＝0，即λ＝0为A的n重特征值，于是λ＝1为E—A和E＋A的n重特征值，即E—A和E＋A都没有零特征值．所以E—A，E＋A均可逆．故选(C)．

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