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设f(x)在(-∞,+∞)内连续且严格单调增加,f(0)=0,常数n为正奇数.并设.则正确的是 ( )
设f(x)在(-∞,+∞)内连续且严格单调增加,f(0)=0,常数n为正奇数.并设.则正确的是 ( )
admin
2019-01-24
41
问题
设f(x)在(-∞,+∞)内连续且严格单调增加,f(0)=0,常数n为正奇数.并设
.则正确的是 ( )
选项
A、F(x)在(-∞,0)内严格单调增加,在(0,+∞)内也严格单调增加.
B、F(x)在(-∞,0)内严格单调增加,在(0,+∞)内严格单调减少.
C、F(x)在(-∞,0)内严格单调减少,在(0,+∞)内严格单调增加.
D、F(x)在(-∞,0)内严格单调减少,在(0,+∞)内也严格单调减少.
答案
C
解析
法一 利用积分中值定理,有
其中,若x>0,则0<ξ<x;若x<0,则x<ξ<0.
当x>0时,则有0<ξ
n
<x
n
,由于f(x)严格单调增加且f(0)=0,从而0<f(ξ)<f(x),即
0<ξ
n
f(ξ)<x
n
f(x).于是F'(x)>0;
当x<0时,则有x
n
<ξ
n
<0,并且f(x)<f(ξ)<0.于是仍有x
n
f(x)>ξ
n
f(ξ)>0.所以
F'(x)<0.选(C).
法二
当x>0时,0<t<x,0<f(t)<f(x),0<t
n
f(t)<x
n
f(x),从而F'(x)>0;
当x<0时,x<t<0,x
n
<t
n
<0,f(x)<f(t)<0,于是t
n
f(t)<x
n
f(x),
,
从而F'(x)<0.故选(C).
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考研数学一
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