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  3. 设f(x)在(－∞，＋∞)内连续且严格单调增加，f(0)＝0，常数n为正奇数．并设．则正确的是 ( )

设f(x)在(－∞，＋∞)内连续且严格单调增加，f(0)＝0，常数n为正奇数．并设．则正确的是 ( )

admin2019-01-24  18
问题 设f(x)在(－∞，＋∞)内连续且严格单调增加，f(0)＝0，常数n为正奇数．并设．则正确的是    (    )
选项 A、F(x)在(－∞，0)内严格单调增加，在(0，＋∞)内也严格单调增加．
B、F(x)在(－∞，0)内严格单调增加，在(0，＋∞)内严格单调减少．
C、F(x)在(－∞，0)内严格单调减少，在(0，＋∞)内严格单调增加．
D、F(x)在(－∞，0)内严格单调减少，在(0，＋∞)内也严格单调减少．
答案C
解析
法一  利用积分中值定理，有

其中，若x＞0，则0＜ξ＜x；若x＜0，则x＜ξ＜0．
当x＞0时，则有0＜ξn＜xn，由于f(x)严格单调增加且f(0)＝0，从而0＜f(ξ)＜f(x)，即
0＜ξnf(ξ)＜xnf(x)．于是F＇(x)＞0；
当x＜0时，则有xn＜ξn＜0，并且f(x)＜f(ξ)＜0．于是仍有xnf(x)＞ξnf(ξ)＞0．所以
F＇(x)＜0．选(C)．
法二
当x＞0时，0＜t＜x，0＜f(t)＜f(x)，0＜tnf(t)＜xnf(x)，从而F＇(x)＞0；
当x＜0时，x＜t＜0，xn＜tn＜0，f(x)＜f(t)＜0，于是tnf(t)＜xnf(x)，，
从而F＇(x)＜0．故选(C)．
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考研数学一

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