设n维向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E－=ααT，B=E+ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=_______．

admin2021-01-25 65

问题设n维向量α=(a，0，…，0，a)^T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E－=αα^T，B=E+

αα^T，其中A的逆矩阵为B，则a=_______．

选项

答案－1．

解析由A^－1=B，得
E=AB=(E－αα^T)(E+

αα^T)=E+(

－1)αα^T－

α(α^Tα)α^T=E+(

α^Tα)αα^T

α^Tα)αα^T=O
又易验证矩阵αα^T≠O，故得

α^Tα=0
但α^Tα=‖α‖²=2a²，代入上式，得

－1－2a=0，或(2a－1)(a+1)=0

a=－1，或a=1／2(舍去)，故a=－1．
本题主要考查逆矩阵的概念及矩阵乘法运算规律．注意αα^T是一个n阶方阵，而α^Tα却是一个数．

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