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设非齐次线性方程组Ax=[α1,α2,α3,α4]x=α5有通解 k[-1,2,0,3]T+[2,一3,1,5]T. (1)求方程组[α2,α3,α4]x=α5的通解; (2)求方程组[α1,α2,α3,α4,α4+α5]x=α5的
设非齐次线性方程组Ax=[α1,α2,α3,α4]x=α5有通解 k[-1,2,0,3]T+[2,一3,1,5]T. (1)求方程组[α2,α3,α4]x=α5的通解; (2)求方程组[α1,α2,α3,α4,α4+α5]x=α5的
admin
2018-09-20
50
问题
设非齐次线性方程组Ax=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]x=α
5
有通解
k[-1,2,0,3]
T
+[2,一3,1,5]
T
.
(1)求方程组[α
2
,α
3
,α
4
]x=α
5
的通解;
(2)求方程组[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
]x=α
5
的通解.
选项
答案
(1)由题设,非齐次线性方程组 [α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]x=α
5
有通解k[一1,2,0,3]
T
+[2,一3,1,5]
T
,则 r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
)=3. 且由对应齐次方程组的通解知,一α
1
+2α
2
+3α
4
=0,即α
1
=2α
2
+3α
4
,故α
2
,α
3
,α
4
线性无关(若线性相关,则r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)<3,这和题设矛盾).α
2
,α
3
,α
4
是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
及α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
的极大线性无关组,α
1
,α
5
均可由α
2
,α
3
,α
4
线性表示,从而r(α
2
,α
3
,α
4
)=r(α
2
,α
3
,α
4
,α
5
)=3. 方程组 [α
2
,α
3
,α
4
]x=α
5
(*) 有唯一解.由题设条件,α
5
可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,且表示法不唯一,可取k=2,使α
5
由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示时,不出现α
1
,则得 α
5
=α
2
+α
3
+11α
4
,故方程组(*)的通解(唯一解)为x=[1,1,11]
T
. (2)对于非齐次线性方程组 [α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
]x=α
5
, (**) 因r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
,α
5
)=3,故方程组(**)的通解的结构为 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+η. 因[α,α,α,α,α+α][*]=α
5
,故η
1
=[*] [α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
][*]=α
5
,故η
2
=[*] [α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
4
+α
5
][*]=0,故ξ
1
=[*] 所以方程组(**)的通解为 k
1
ξ
1
+k
2
(η
1
一η
2
)+η
2
=[*] 其中k
1
,k
2
是任意常数.
解析
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考研数学三
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