设非齐次线性方程组Ax=[α1,α2,α3,α4]x=α5有通解 k[-1,2,0,3]T+[2,一3,1,5]T. (1)求方程组[α2,α3,α4]x=α5的通解; (2)求方程组[α1,α2,α3,α4,α4+α5]x=α5的

admin2018-09-20  28

问题 设非齐次线性方程组Ax=[α1,α2,α3,α4]x=α5有通解
    k[-1,2,0,3]T+[2,一3,1,5]T
    (1)求方程组[α2,α3,α4]x=α5的通解;
    (2)求方程组[α1,α2,α3,α4,α45]x=α5的通解.

选项

答案(1)由题设,非齐次线性方程组 [α1,α2,α3,α4]x=α5 有通解k[一1,2,0,3]T+[2,一3,1,5]T,则 r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3,α4,α5)=3. 且由对应齐次方程组的通解知,一α1+2α2+3α4=0,即α1=2α2+3α4,故α2,α3,α4线性无关(若线性相关,则r(α1,α2,α3,α4)<3,这和题设矛盾).α2,α3,α4是α1,α2,α3,α4及α1,α2,α3,α4,α5的极大线性无关组,α1,α5均可由α2,α3,α4线性表示,从而r(α2,α3,α4)=r(α2,α3,α4,α5)=3. 方程组 [α2,α3,α4]x=α5 (*) 有唯一解.由题设条件,α5可由α1,α2,α3,α4线性表示,且表示法不唯一,可取k=2,使α5由α1,α2,α3,α4线性表示时,不出现α1,则得 α523+11α4,故方程组(*)的通解(唯一解)为x=[1,1,11]T. (2)对于非齐次线性方程组 [α1,α2,α3,α4,α45]x=α5, (**) 因r(α1,α2,α3,α4,α45)=r(α1,α2,α3,α4,α455)=3,故方程组(**)的通解的结构为 k1ξ1+k2ξ2+η. 因[α,α,α,α,α+α][*]=α5,故η1=[*] [α1,α2,α3,α4,α45][*]=α5,故η2=[*] [α1,α2,α3,α4,α45][*]=0,故ξ1=[*] 所以方程组(**)的通解为 k1ξ1+k21一η2)+η2=[*] 其中k1,k2是任意常数.

解析
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