2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1． 求f(x)的表达式．

设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1． 求f(x)的表达式．

admin2021-04-07  36
问题 设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1．
求f(x)的表达式．
选项
答案将上式两边积分，得 f(x)＝(a－1)lnx＋x＋C， 由f(1)＝0，得C＝－1，从而得 f(x)＝(a－1)lnx＋x－1(x＞0。a≠1)。
解析
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考研数学二

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