设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1．求f(x)的表达式．

admin2021-04-07 76

问题设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1．
求f(x)的表达式．

选项

答案将上式两边积分，得 f(x)＝(a－1)lnx＋x＋C，由f(1)＝0，得C＝－1，从而得 f(x)＝(a－1)lnx＋x－1(x＞0。a≠1)。

解析

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考研数学二

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