设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，an+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明：α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。

admin2018-01-26 52

问题设α₁，α₂，…，α_n是n个n维的线性无关向量组，a_n+1=k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n，其中k₁，k₂，…，k_n全不为零。证明：α₁，α₂，…，α_n，α_n+1中任意n个向量线性无关。

选项

答案选取α_i之外的n个向量为例。令λ₁α₁+…+λ_i-1α_i-1+λ_i+1α_i+1+…+λ_nα_n+λ_n+1α_n+1=0，即(λ₁+_n+1λk₁)α₁+…+(λ_i-1+λ_n+1k_i-1)α_i-1+λ_n+1k_iα_i+(λ_i+1+λ_n+1k_i+1)α_i+1+…+(λ_n+λ_n+1k_n)α_n=0。因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，所以必有λ_n+1k_i=0，而k_i≠0，则λ_n+1=0，故由λ₁+λ_n+1k₁=0，…，λ_i-1+λ_n+1k_i-1=0，λ_i+1+λ_n+1k_i+1=0，…，λ_n+λ_n+1k_n=0，立即得λ₁=λ₂=…=λ_i-1=λ_i+1=…=λ_n+1=0，所以α₁，α₂，…，α_i-1，α_i+1，…，α_n，α_n+1线性无关。

解析

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考研数学一

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设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，an+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明：α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。

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