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设α1,α2,…,αn是n个n维的线性无关向量组,an+1=k1α1+k2α2+…+knαn,其中k1,k2,…,kn全不为零。证明:α1,α2,…,αn,αn+1中任意n个向量线性无关。
设α1,α2,…,αn是n个n维的线性无关向量组,an+1=k1α1+k2α2+…+knαn,其中k1,k2,…,kn全不为零。证明:α1,α2,…,αn,αn+1中任意n个向量线性无关。
admin
2018-01-26
48
问题
设α
1
,α
2
,…,α
n
是n个n维的线性无关向量组,a
n+1
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
,其中k
1
,k
2
,…,k
n
全不为零。证明:α
1
,α
2
,…,α
n
,α
n+1
中任意n个向量线性无关。
选项
答案
选取α
i
之外的n个向量为例。 令λ
1
α
1
+…+λ
i-1
α
i-1
+λ
i+1
α
i+1
+…+λ
n
α
n
+λ
n+1
α
n+1
=0,即(λ
1
+
n+1
λk
1
)α
1
+…+(λ
i-1
+λ
n+1
k
i-1
)α
i-1
+λ
n+1
k
i
α
i
+(λ
i+1
+λ
n+1
k
i+1
)α
i+1
+…+(λ
n
+λ
n+1
k
n
)α
n
=0。 因为α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,所以必有λ
n+1
k
i
=0,而k
i
≠0,则λ
n+1
=0,故由λ
1
+λ
n+1
k
1
=0,…,λ
i-1
+λ
n+1
k
i-1
=0,λ
i+1
+λ
n+1
k
i+1
=0,…,λ
n
+λ
n+1
k
n
=0,立即得λ
1
=λ
2
=…=λ
i-1
=λ
i+1
=…=λ
n+1
=0,所以α
1
,α
2
,…,α
i-1
,α
i+1
,…,α
n
,α
n+1
线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ncr4777K
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考研数学一
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