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设二次型f(x1,x2,x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值; (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换。
设二次型f(x1,x2,x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值; (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换。
admin
2019-01-22
60
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)﹦x
T
Ax﹦ax
1
2
﹢6x
2
2
﹢3x
3
2
-4x
1
x
2
-8x
1
x
3
-4x
2
x
3
,其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。
(I)求a的值;
(Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换。
选项
答案
(I)题干所给二次型f对应的矩阵A﹦[*],已知λ﹦-2是A的特征值,因此有 [*] 得到a﹦3。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式|λE-A|﹦[*]﹦(λ-7)
2
(λ﹢2),矩阵A的特征值是λ
1
﹦λ
2
﹦7,λ
3
﹦-2。 对于λ﹦7,齐次方程组(7E-A)x﹦0的基础解系为[*] 对于λ﹦-2,齐次方程组(-2E-A)x﹦0的基础解系为α
3
﹦[*] 因为α
1
,α
2
不正交,故需正交化,有 [*] 那么令Q﹦(γ
1
,γ
2
,γ
3
)﹦[*],则在正交变换x﹦Qy下,有 x
T
Ax﹦y
T
Ay﹦7y
1
2
﹢7y
2
2
-2y
3
2
。 本题考查二次型的标准化及正定矩阵的判断。先根据-2是一个特征值求出口的值,然后代入求二次型矩阵,并求特征值和特征向量,利用施密特正交化方法得正交矩阵,求出标准形和所用的正交变换。
解析
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考研数学一
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