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设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。
设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。
admin
2019-01-22
33
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)﹦x
T
Ax﹦ax
1
2
﹢6x
2
2
﹢3x
3
2
－4x
1
x
2
－8x
1
x
3
－4x
2
x
3
，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。
(I)求a的值；
(Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。
选项
答案
(I)题干所给二次型f对应的矩阵A﹦[*]，已知λ﹦－2是A的特征值，因此有 [*] 得到a﹦3。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式｜λE－A｜﹦[*]﹦(λ－7)
2
(λ﹢2)，矩阵A的特征值是λ
1
﹦λ
2
﹦7，λ
3
﹦－2。 对于λ﹦7，齐次方程组(7E－A)x﹦0的基础解系为[*] 对于λ﹦－2，齐次方程组(－2E－A)x﹦0的基础解系为α
3
﹦[*] 因为α
1
，α
2
不正交，故需正交化，有 [*] 那么令Q﹦(γ
1
，γ
2
，γ
3
)﹦[*]，则在正交变换x﹦Qy下，有 x
T
Ax﹦y
T
Ay﹦7y
1
2
﹢7y
2
2
－2y
3
2
。 本题考查二次型的标准化及正定矩阵的判断。先根据－2是一个特征值求出口的值，然后代入求二次型矩阵，并求特征值和特征向量，利用施密特正交化方法得正交矩阵，求出标准形和所用的正交变换。
解析
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考研数学一
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