设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

admin2019-01-22 74

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)﹦x^TAx﹦ax₁²﹢6x₂²﹢3x₃²－4x₁x₂－8x₁x₃－4x₂x₃，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。
(I)求a的值；
(Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

选项

答案(I)题干所给二次型f对应的矩阵A﹦[*]，已知λ﹦－2是A的特征值，因此有 [*] 得到a﹦3。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式｜λE－A｜﹦[*]﹦(λ－7)²(λ﹢2)，矩阵A的特征值是λ₁﹦λ₂﹦7，λ₃﹦－2。对于λ﹦7，齐次方程组(7E－A)x﹦0的基础解系为[*] 对于λ﹦－2，齐次方程组(－2E－A)x﹦0的基础解系为α₃﹦[*] 因为α₁，α₂不正交，故需正交化，有 [*] 那么令Q﹦(γ₁，γ₂，γ₃)﹦[*]，则在正交变换x﹦Qy下，有 x^TAx﹦y^TAy﹦7y₁²﹢7y₂²－2y₃²。本题考查二次型的标准化及正定矩阵的判断。先根据－2是一个特征值求出口的值，然后代入求二次型矩阵，并求特征值和特征向量，利用施密特正交化方法得正交矩阵，求出标准形和所用的正交变换。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nfM4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

考研数学一

在区间(0，1)中任取两数，求这两数乘积大于0．25的概率．

设随机变量Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数为p的0—1分布．令求随机变量(X1，X2)的联合概率分布．

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X1—2X2)2+b(3X3—4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则

设α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0),α5=(2，1，5，10)．①求r(α1，α2，α3，α4，α5)．②求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示．

设f(x)在[0，1]连续，且对任意x，y∈[0，1]均有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜，M为正的常数，求证：．

设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，则当n一∞时以(x)为极限的是

求下列平面上曲线积分I＝，其中A(0，—1)，B(1，0)，为单位圆在第四象限部分．

设函数f(x)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝，试求f(t)．

已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．

有三个盒子，第一个盒子有4个红球1个黑球，第二个盒子有3个红球2个黑球，第三个盒子有2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取3个球，以X表示红球个数．求所取到的红球数不少于2个的概率．

群体极化和群体思维会对群体决策造成什么影响？

流行性脑脊髓膜炎的特征性病变是

冠状动脉粥样硬化发生率最高的部位是

依照我国有关司法解释，法人的民事行为能力依其本国法确定。某一外国法人到中国从事商业活动，应以哪一国的法律为其本国法?

调查报告属于公文中的规范性文件。()

香港回归祖国后，中国政府将坚定不移地执行“一国两制”、“港人治港”、高度自治的基本方针，保持香港原有的（）。

下面是关于8259A可编程中断控制器的叙述，其中错误的是(　　　)。

一个算法应该具有“确定性”等5个特性，下面对另外4个特性的描述中错误的是

Whydoadultsbelievethatalcoholicawarenessprogramsteachyoungpeoplenottooverdrink?Recently,readinganarticleabout

Judgingfromrecentsurveys,mostexpertsinsleepbehavioragreethatthereisvirtuallyanepidemicofsleepinessinthenatio

设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

考研数学一

在区间(0，1)中任取两数，求这两数乘积大于0．25的概率．

设随机变量Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数为p的0—1分布．令求随机变量(X1，X2)的联合概率分布．

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X1—2X2)2+b(3X3—4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则

设α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0),α5=(2，1，5，10)．①求r(α1，α2，α3，α4，α5)．②求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示．

设f(x)在[0，1]连续，且对任意x，y∈[0，1]均有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜，M为正的常数，求证：．

设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，则当n一∞时以(x)为极限的是

求下列平面上曲线积分I＝，其中A(0，—1)，B(1，0)，为单位圆在第四象限部分．

设函数f(x)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝，试求f(t)．

已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．

有三个盒子，第一个盒子有4个红球1个黑球，第二个盒子有3个红球2个黑球，第三个盒子有2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取3个球，以X表示红球个数．求所取到的红球数不少于2个的概率．

群体极化和群体思维会对群体决策造成什么影响？

流行性脑脊髓膜炎的特征性病变是

冠状动脉粥样硬化发生率最高的部位是

依照我国有关司法解释，法人的民事行为能力依其本国法确定。某一外国法人到中国从事商业活动，应以哪一国的法律为其本国法?

调查报告属于公文中的规范性文件。()

香港回归祖国后，中国政府将坚定不移地执行“一国两制”、“港人治港”、高度自治的基本方针，保持香港原有的（）。

下面是关于8259A可编程中断控制器的叙述，其中错误的是( )。

一个算法应该具有“确定性”等5个特性，下面对另外4个特性的描述中错误的是

Whydoadultsbelievethatalcoholicawarenessprogramsteachyoungpeoplenottooverdrink?Recently,readinganarticleabout

Judgingfromrecentsurveys,mostexpertsinsleepbehavioragreethatthereisvirtuallyanepidemicofsleepinessinthenatio

下面是关于8259A可编程中断控制器的叙述，其中错误的是(　　　)。