n维向量组(I)α1,α2,…,αs和(Ⅱ)β1,β2,…,βt等价的充分必要条件是

admin2019-01-25  24

问题 n维向量组(I)α1,α2,…,αs和(Ⅱ)β1,β2,…,βt等价的充分必要条件是

选项 A、r(I)=r(Ⅱ),并且s=t.
B、r(I)=r(Ⅱ)=n.
C、r(I)=r(Ⅱ),并且(I)可以用(Ⅱ)线性表示.
D、(I)和(Ⅱ)都线性无关,并且s=t.

答案C

解析 (I)与(Ⅱ)等价的充分必要条件是r(I)=r(Ⅱ)=r(I,Ⅱ).
(A)缺少条件r(I,Ⅱ)=r(I).
(B)是(I)与(Ⅱ)等价的一个充分条件,但是等价并不要求向量组的秩达到维数.
(D)(I)和(Ⅱ)都无关不能得到它们互相可以线性表示,例如
(I):α1=(1,0,0,0),α2=(0,1,0,0),
(Ⅱ):β1=(0,0,1,0),设β2=(0,0,0,1).
(I)和(Ⅱ)都无关,并且s=t=2,但是(I)和(Ⅱ)不等价.
(C)(I)可以用(Ⅱ)线性表示,则r(Ⅱ)=r(I,Ⅱ).
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