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证明:闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身.
证明:闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身.
admin
2022-11-23
35
问题
证明:闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身.
选项
答案
设[a,b]的全体聚点的集合是M,设δ>0,不妨设δ<b-a,则 U(a;δ)∩[a,b]=[a,a+δ)[*][a,b]. 由实数集的稠密性知,集合[a,a+δ)中有无穷多个实数,故a是[a,b]的一个聚点.同理,b也是[a,b]的一个聚点. 设x
0
∈(a,b),δ>0,不妨设δ<min{x
0
-a,b-x
0
},则 U(x
0
;δ)∩[a,b]=(x
0
-δ,x
0
+δ)[*][a,b], 故x
0
的任意邻域内都含有[a,b]中的无穷多个点.故x
0
为[a,b]的一个聚点.总之[a,b][*]M.设y
0
[*][a,b],令δ=min{|y
0
-a|,|y
0
-b},则δ>0,U(y
0
;δ)∩[a,b]=[*],即y
0
不是[a,b]的聚点,即y
0
[*]M.故M[*][a,b]. 综上所述,M=[a,b],即闭区间[a,b]的全体聚点的集台是[a,b]本身.
解析
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考研数学一
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