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  3. 已知矩阵A=的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

已知矩阵A=的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

admin2017-07-26  54
问题 已知矩阵A=的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．
选项
答案由A的特征多项式 ｜λE一A｜=[*]=(λ一2)(λ2一8λ+10+a)， 若λ=2是重根，则λ2一8λ+10+a中含有λ一2的因式，于是22一16+10+a=0，得a=2． 此时λ2一8λ+12=(λ一2)(λ一6)．矩阵A的3个特征值是2(二重根)，6． 对于λ=2，由 r(2E—A)=[*]=1， 知A可以相似对角化． 若λ=2不是重根，则λ2一8λ+10+a是完全平方，于是 82=4(10+a)， 得a=6， λ=4(二重根)， 对于λ=4，由于 r(4E—A)=[*]=2≠1， 故a=6时，A不能相似对角化．
解析
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考研数学三

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