求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3 成标准形。

admin2018-08-03 47

问题求一个正交变换，化二次型
f=x₁²+4x₂²+4x₃²一4x₁x₂+4x₁x₃—8x₂x₃
成标准形。

选项

答案f的矩阵为 [*] 得A的全部特征值为λ₁=λ₂=0，λ₃=9．对于λ₁=λ₂=0，求方程组(0E—A)X=0的基础解系，由 [*] 从而可取A的对应于λ₁=λ₂=0的特征向量为 [*] ξ₁与ξ₂已经正交，将它们单位化，得 [*] 对于λ₃=9，求方程组(9E—A)X=0的基础解系，由 [*] 可取对应于λ₃=9的特征向量为 ξ₃=(1，一2，2)^T 将其单位化，p₃=[*] 令矩阵P=[p₁ p₂ p₃]，则P为正交矩阵，在正交变换X=PY，即 [*] 下，二次型f化成为f=9y₃²，此即为f的标准形．

解析

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考研数学一

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设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．(Ⅰ)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩阵P使P－1AP=A．
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