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设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=( )
设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=( )
admin
2021-01-19
54
问题
设A是任一n(n≥3)阶方阵,A
*
是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)
*
=( )
选项
A、kA
*
。
B、k
n-1
A
*
。
C、k
n
A
*
。
D、k
-1
A
*
。
答案
B
解析
对任何n阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的n阶矩阵自然也要成立。那么,当A可逆时,由A
*
=|A|A
-1
,有
(kA)
*
=|kA|(kA)
-1
=k
n
|A|.
A
-1
=k
n-1
|A|A
-1
=k
n-1
A
*
。
故应选B。
一般地,若A=(a
ij
)
m×n
,有kA=(ka
ij
)
m×n
,那么矩阵kA的第i行j列元素的代数余子式为
即|kA|中每个元素的代数余子式恰好是|A|相应元素的代数余子式的k
n-1
倍,因此,按伴随矩阵的定义知(kA)
*
的元素是A
*
对应元素的k
n-1
倍。
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考研数学二
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