设A是任一n(n≥3)阶方阵，A是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)=( )

admin2021-01-19 51

问题设A是任一n(n≥3)阶方阵，A^*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)^*=( )

选项 A、kA^*。
B、k^n－1A^*。
C、kⁿA^*。
D、k^－1A^*。

答案B

解析对任何n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的n阶矩阵自然也要成立。那么，当A可逆时，由A^*=｜A｜A^－1，有
(kA)^*=｜kA｜(kA)^－1=kⁿ｜A｜．

A^－1=k^n－1｜A｜A^－1=k^n－1A^*。
故应选B。
一般地，若A=(a_ij)_m×n，有kA=(ka_ij)_m×n，那么矩阵kA的第i行j列元素的代数余子式为

即｜kA｜中每个元素的代数余子式恰好是｜A｜相应元素的代数余子式的k^n－1倍，因此，按伴随矩阵的定义知(kA)^*的元素是A^*对应元素的k^n－1倍。

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