2. 考研
  3. 设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=( )

设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=( )

admin2021-01-19  39
问题 设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=(  )
选项 A、kA*。
B、kn－1A*。
C、knA*。
D、k－1A*。
答案B
解析 对任何n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的n阶矩阵自然也要成立。那么，当A可逆时，由A*=｜A｜A－1，有
(kA)*=｜kA｜(kA)－1=kn｜A｜．A－1=kn－1｜A｜A－1=kn－1A*。
故应选B。
一般地，若A=(aij)m×n，有kA=(kaij)m×n，那么矩阵kA的第i行j列元素的代数余子式为

即｜kA｜中每个元素的代数余子式恰好是｜A｜相应元素的代数余子式的kn－1倍，因此，按伴随矩阵的定义知(kA)*的元素是A*对应元素的kn－1倍。
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考研数学二

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