设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=( )

admin2021-01-19  37

问题 设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=(  )

选项 A、kA*
B、kn-1A*
C、knA*
D、k-1A*

答案B

解析 对任何n阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的n阶矩阵自然也要成立。那么,当A可逆时,由A*=|A|A-1,有
(kA)*=|kA|(kA)-1=kn|A|.A-1=kn-1|A|A-1=kn-1A*
故应选B。
一般地,若A=(aij)m×n,有kA=(kaij)m×n,那么矩阵kA的第i行j列元素的代数余子式为

即|kA|中每个元素的代数余子式恰好是|A|相应元素的代数余子式的kn-1倍,因此,按伴随矩阵的定义知(kA)*的元素是A*对应元素的kn-1倍。
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