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设a是常数,考虑积分. (Ⅰ)证明上述积分总是收敛的; (Ⅱ)求上述积分的值.
设a是常数,考虑积分. (Ⅰ)证明上述积分总是收敛的; (Ⅱ)求上述积分的值.
admin
2020-03-08
12
问题
设a是常数,考虑积分
.
(Ⅰ)证明上述积分总是收敛的;
(Ⅱ)求上述积分的值.
选项
答案
(Ⅰ)设α≥0,则题给被积函数在区间[0,+∞)上连续且为正,且 [*] 左边积分随X的增大而增大,但积分值小于[*]L44存在,即 [*] 收敛. 若α<0,有[*],所以x=0不是瑕点,为讨论x→+∞的情形,令α=-β,β>0,于是[*] 仍有[*] 与上面讨论类似,知[*]收敛,从而[*]收敛. 综上,无论α≥0还是α<0,所给积分都收敛. (Ⅱ)作积分变量代换,令[*], [*] 【注】本题的反常积分判断敛散性并未超纲.
解析
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考研数学一
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