设A是3阶矩阵，α1,α2,α3为三维列向量，且α1≠0，若Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3. 证明：A不可相似对角化。

admin2021-02-27 10

问题设A是3阶矩阵，α₁,α₂,α₃为三维列向量，且α₁≠0，若Aα₁=α₁,Aα₂=α₁+α₂,Aα₃=α₂+α₃.
证明：A不可相似对角化。

选项

答案令P=(α₁,α₂,α₃) 由（Aα₁,Aα₂,Aα₃)=(α₁,α₁+α₂,α₂+α₃)得 [*] 由|λE-A|=|λE-B|=(λ-1)³=0得A的特征值为λ₁=λ₂=λ₃=1, [*] 因为r(E-B)=2,所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化。而A～B,故A不可相似对角化。

解析

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考研数学一

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