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已知三元二次型f=xTAx的秩为2,且 求此二次型的表达式,并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
已知三元二次型f=xTAx的秩为2,且 求此二次型的表达式,并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
admin
2018-12-19
27
问题
已知三元二次型f=x
T
Ax的秩为2,且
求此二次型的表达式,并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
选项
答案
二次型x
T
Ax的秩为2,即r(A)=2,所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值,(1,2,1)
T
是与3对应的特征向量;一1也是A的特征值,(1,一1,1)
T
是与一1对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,设λ=0的特征向量是(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则有 [*] 由方程组[*]解出λ=0的特征向量是(1,0,一1)
T
,那么 [*] 所以 [*] 因此 x
T
Ax=[*](x
1
2
+10x
2
2
+x
3
2
+16x
1
x
2
+2x
1
x
3
+16x
2
x
3
), 则令 [*] 所以经正交变换x=Qy,有x
T
Ax=y
T
Λy=3y
1
2
一y
3
2
。
解析
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考研数学二
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