2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，证明： (I)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量a，β，使得A=aβT； (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

设A是n阶矩阵，证明： (I)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量a，β，使得A=aβT； (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

admin2021-10-02  69
问题 设A是n阶矩阵，证明：
(I)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量a，β，使得A=aβT；
(Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．
选项
答案(I)若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即 [*] 于是A=[*](b1，b2，…，bn)，令a=[*]，显然a，β都不是零向量且A=aβT； 反之，若A=aβT，其中A，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(aβT)≤r(a)=1，又因为a，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1． (Ⅱ)因为r(A)=1，所以存在非零列向量a，J=β，使得A=aβT，显然tr(A)=(a，β)，因为tr(A)≠0，所以(a，β)=k≠0． 令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2一kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A 的特征值为λ=0或λ=k．因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…λn=0，由r(OE—A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．
解析
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考研数学三

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