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已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关。证明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。
已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关。证明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。
admin
2017-01-13
57
问题
已知λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的特征值，α
1
,α
2
,α
3
是相应的特征向量且线性无关。证明：如α
1
+α
2
+α
3
仍是A的特征向量，则λ
1
=λ
2
=λ
3
。
选项
答案
若α
1
+α
2
+α
3
是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则A(α
1
+α
2
+α
3
)=λ(α
1
+α
2
+α
3
)。又A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
，于是有(λ—λ
1
)α
1
+(λ—λ
2
)α
2
+(λ—λ
3
)α
3
=0。因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关，故λ—λ
1
=0，λ一λ
2
=0，λ—λ
3
=0，即λ
1
=λ
2
=λ
3
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oCt4777K
0
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