设齐次线性方程组(Ⅰ)为又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α1=(0,1,1,0)T,α2=(-1,2,2,1)T.试问a,b为何值时,(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解.

admin2016-01-23  45

问题 设齐次线性方程组(Ⅰ)为又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α1=(0,1,1,0)T,α2=(-1,2,2,1)T.试问a,b为何值时,(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解.

选项

答案由齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系可得 (α1,α2)=[*] 以x3,x4为自由变量,则上述基础解系可由以下等价方程组得到 [*] 去掉x3,x4两个自由变量的恒等式方程,可得以α1,α2为基础解系的一个齐次线性方程组为[*] 将题设条件中的方程组(I)与上述①式中的方程组联立,得 [*] 参数a,b的值只要使得方程组②有非零解,并

解析 本题考查求两个齐次线性方程组的非零公共解,其一般方法有联立法和代入法.下面以联立法解之,所以要先把方程组(Ⅱ)由其基础解系“还原”出来.
注:由方程组(Ⅱ)的基础解系“还原”方程组时,其结果形式不唯一.请读者思考,若以x2,x4或x1,x3为自由变量,方程组(Ⅱ)的形式如何?
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