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设f(x)在[0,a]二次可导且f(0)=0,f’’(x)<0.求证:在(0,a]单调下降.
设f(x)在[0,a]二次可导且f(0)=0,f’’(x)<0.求证:在(0,a]单调下降.
admin
2017-08-18
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问题
设f(x)在[0,a]二次可导且f(0)=0,f’’(x)<0.求证:
在(0,a]单调下降.
选项
答案
【证法一】 对F(x)求导得F’(x)=xf’’(x)<0 ([*]x∈(0,a]). 又F(0)=0,则F(x)<0([*]x∈(0,a]),即xf’(x)一f(x)<0(0<x≤a). 【证法二】 f’’(x)<0意味着f(x)是凸函数,从而曲线在任一点切线的下方,即[*]t∈[0,a]有 f(t)<f(x)+f’(x)(t—x) ([*]x∈[0,a],x≠t).特别地,令t=0时,f(0)=0<f(x)一f’(x)x, 即xf’(x)一f(x)<0 (x∈(0,a]). 【证法三】 由微分中值定理,[*]x∈(0,a],[*]ξ∈(0,x)使得 xf’(x)一f(x)=xf’(x)一[f(x)一f(0)]=xf’(x)一xf’(ξ) =x[f’(x)一f’(ξ)]<0(因为f’(x)单调减少). 【证法四】 由泰勒公式,[*]x∈(0,a],[*]ξ∈(0,x),有 0=f(0)=f(x)+f’(x)(一x)+[*]f’’(ξ)(一x)
2
. 由f’’(ξ)<0[*]f(x)一xf’(x)>0,即xf’(x)一f(x)<0 ([*]x∈(0,a]).
解析
要证
在(0,a]单调下降,只需证明导数
.为此令
F(x)=xf’(x)一f(x),则只需证F(x)<0(
x∈(0,a]).
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考研数学一
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