(1998年试题,二)设矩阵是满秩的,则直线与直线( ).

admin2013-12-27  43

问题 (1998年试题,二)设矩阵是满秩的,则直线与直线(    ).

选项 A、相交于一点
B、重合
C、平行但不重合
D、异面

答案A

解析 本题综合考查了线性代数与空间解析几何中的若干知识点,具有较强综合性.首先,记点P1为(a1,b1,c1),P2为(a2,b2,c2),P3为(a3,b3,c3),向量由已知矩阵满秩,则其行向量组线性无关,因此由解析几何知识可知,三向量不共面,因此必有三点P1,P2。P3不共线,又由题设,直线通过点P3,以为方向向量,而直线通过点P1,以为方向向量,由前述已知,P1,P2,P3不共线,可得出两直线必相交于一点,选A.解析二经初等变换矩阵的秩不变,即由知后者的秩仍为3,故而两直线的方向向量v1=(a1一a2,b1一b2,c1一c2)与v2=(a2一a3,b2一b3,c2一c1)线性无关,可排除选项B和C.在这两条直线上各取一点(a3,b3,c3)和(a1,b1,c1),可构造另一个向量v3=(a3一a1,b3一b1,c3一c1).若v1,v2,v3共面,则两条直线相交;若v1,v2,v3不共面,则两直线异面,不相交.此时可用混合积或观察出v1+v2+v3=0知,正确答案为A.
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