设αi=(αi1,αi2,…,αin)T(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关,已知β=(b1,b2,…,b3)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.即β

admin2019-12-26  31

问题 设αi=(αi1,αi2,…,αin)T(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关,已知β=(b1,b2,…,b3)T是线性方程组
           
的非零解向量,试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.即βTαi=0(i=1,2,…,r).

选项

答案设有一组数x12,…,xr+1,使得 x1α1+x2α2+…+xrαr+xr+1β=0, (*) 用βT左乘(*)式两端,由于β是方程组的非零解,所以βTαi=0(i=1,2,…,r),从而得xr+1βTβ=0,而β≠0,故βTβ≠0,从而xr+1=0,代入(*)式并注意到向量组α1,α2,…,αr线性无关,可得x1=0,x2=0,…,xr=0,所以向量组α1,α2,…,αr,β线性无关.

解析
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