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已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs-1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs-1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs-1，β线性表示．
已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs-1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs-1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs-1，β线性表示．
admin
2018-11-20
37
问题
已知β可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，但不可用α
1
，α
2
，…，α
s-1
线性表示．证明
(1)α
s
不可用α
1
，α
2
，…，α
s-1
线性表示；
(2)α
s
可用α
1
，α
2
，…，α
s-1
，β线性表示．
选项
答案
方法一 由于β可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，可设有表示式 β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
(I) (1)用反证法 如果α
s
可用α
1
，α
2
，…，α
s-1
线性表示；设α
s
=t
1
α
1
+t
2
α
2
+…+t
s-1
α
s-1
，代入(I)式得β用α
1
，α
2
，…，α
s-1
线性表示式： β=(k
1
+t
1
)α
1
+(k
2
+t
2
)α
2
+…+(k
s-1
+t
s-1
)α
s-1
， 与条件矛盾． (2)(I)中的k
s
≠0(否则β可用α
1
，α
2
，…，α
s-1
线性表示)．于是有 [*] 方法二 r(α
1
，α
2
，…，α
s
，β)=r(α
1
，α
2
，…，α
s
)，r(α
1
，α
2
，…，α
s-1
，β)=r(α
1
，α
2
，…，α
s-1
)+1 于是有 r(α
1
，α
2
，…，α
s
)=r(α
1
，α
2
，…，α
s
，β)≥r(α
1
，α
2
，…，α
s-1
，β) =r(α
1
，α
2
，…，α
s-1
)+1≥r(α
1
，α
2
，…，α
s
) 从而其中两个“≥”号都为等号．于是 r(α
1
，α
2
，…，α
s-1
)+1=r(α
1
，α
2
，…，α
s
) 因此，α
s
不可用α
1
，α
2
，…，α
s-1
线性表示． r(α
1
，α
2
，…，α
s
，β)=r(α
1
，α
2
，…，α
s-1
，β)， 因此，α
s
可用α
1
，α
2
，…，α
s-1
，β线性表示．
解析
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考研数学三
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