2. 考研
  3. 已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs-1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs-1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs-1，β线性表示．

已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs-1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs-1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs-1，β线性表示．

admin2018-11-20  25
问题 已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs-1线性表示．证明
    (1)αs不可用α1，α2，…，αs-1线性表示；
    (2)αs可用α1，α2，…，αs-1，β线性表示．
选项
答案方法一 由于β可用α1，α2，…，αs线性表示，可设有表示式 β=k1α1+k2α2+…+ksαs (I) (1)用反证法 如果αs可用α1，α2，…，αs-1线性表示；设αs=t1α1+t2α2+…+ts-1αs-1，代入(I)式得β用α1，α2，…，αs-1线性表示式： β=(k1+t1)α1+(k2+t2)α2+…+(ks-1+ts-1)αs-1， 与条件矛盾． (2)(I)中的ks≠0(否则β可用α1，α2，…，αs-1线性表示)．于是有 [*] 方法二 r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs)，r(α1，α2，…，αs-1，β)=r(α1，α2，…，αs-1)+1 于是有 r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)≥r(α1，α2，…，αs-1，β) =r(α1，α2，…，αs-1)+1≥r(α1，α2，…，αs) 从而其中两个“≥”号都为等号．于是 r(α1，α2，…，αs-1)+1=r(α1，α2，…，αs) 因此，αs不可用α1，α2，…，αs-1线性表示． r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs-1，β)， 因此，αs可用α1，α2，…，αs-1，β线性表示．
解析
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考研数学三

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