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已知A为三阶方阵,A2一A一2E=0,且0<|A|<5,则|A+2E|=________。
已知A为三阶方阵,A2一A一2E=0,且0<|A|<5,则|A+2E|=________。
admin
2017-12-29
33
问题
已知A为三阶方阵,A
2
一A一2E=0,且0<|A|<5,则|A+2E|=________。
选项
答案
4
解析
设A的特征值λ
i
对应的特征向量是x
i
(x
i
≠0,i=1,2,3),则Ax
i
=λx
i
。
由A
2
一A一2E=0可知,特征向量x
i
满足(A
2
一A一2E)x
i
=0,从而有λ
i
2
一λ
i
一2=0,解得λ
i
=一1或λ
i
=2 0再根据|A|=λ
1
λ
2
λ
3
及0<|A|<5可得,λ
1
=λ
2
=一1,λ
3
=2。
由Ax
i
=λx
i
可得(A+2E)x
i
=(λ
i
+2)x
i
,即A+2E的特征值μ
i
(i=1,2,3)满足μ
i
=λ
i
+2,所以μ
1
=μ
2
=1,μ
3
=4,故|A+2E|=1×1×4=4。
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考研数学三
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