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生产某种产品需要投甲、乙两种原料,x1和x2(单位:吨)分别是它们各自的投入量,则该产品的产出量为(单位:吨),其中常数α>0,β>0且α+β=1.如果两种原料的价格分别为p1与p2(单位:万元/吨).试问,当投入两种原料的总费用为P(单位:万元)时,两种
生产某种产品需要投甲、乙两种原料,x1和x2(单位:吨)分别是它们各自的投入量,则该产品的产出量为(单位:吨),其中常数α>0,β>0且α+β=1.如果两种原料的价格分别为p1与p2(单位:万元/吨).试问,当投入两种原料的总费用为P(单位:万元)时,两种
admin
2020-03-10
39
问题
生产某种产品需要投甲、乙两种原料,x
1
和x
2
(单位:吨)分别是它们各自的投入量,则该产品的产出量为
(单位:吨),其中常数α>0,β>0且α+β=1.如果两种原料的价格分别为p
1
与p
2
(单位:万元/吨).试问,当投入两种原料的总费用为P(单位:万元)时,两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大?
选项
答案
由题设知应求函数[*]在条件p
1
x
1
+p
2
x
2
=P之下的最大值点.用拉格朗日乘数法,构造拉格朗日函数 [*] 为求F(x
1
,x
2
,λ)的驻点,解方程组 [*] 因驻点唯一,且实际问题必有最大产出量,故计算结果表明,在两种原料投入的总费用为P(万元)时,这两种原料的投入量分别为[*](吨)时可使该产品的产出量最大.
解析
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考研数学三
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