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[2005年] 用变量代换x=cost(0<t<π)化简微分方程(1-x2)y"一xy′+y=0,并求其满足y∣x=0=1,y′∣x=0=2的特解.
[2005年] 用变量代换x=cost(0<t<π)化简微分方程(1-x2)y"一xy′+y=0,并求其满足y∣x=0=1,y′∣x=0=2的特解.
admin
2019-05-10
55
问题
[2005年] 用变量代换x=cost(0<t<π)化简微分方程(1-x
2
)y"一xy′+y=0,并求其满足y∣
x=0
=1,y′∣
x=0
=2的特解.
选项
答案
所给方程为变系数方程,一般直接求解比较困难.给出了自变量替换后,可转化为常系数微分方程,并可求得其通解.为此先将y′,y"转化为[*],再用二阶常系数线性微分方程的求解方法求解. 注意到y是x的函数,x为t的函数,因而y为t的复合函数x为中间变量,则 [*] =(1一cos
2
t)[*]=(1一x
2
)y"一xy′. 于是原方程可化为[*]+y=0,其特征方程为r
2
+1=0,解得r
1,2
=±i.于是此方程的通解为 y=C
1
cost+C
2
sint.于是原方程的通解为y=C
1
x+C
2
[*] 由y∣
x=0
=1,y′∣
x=0
=2得C
1
=2,C
2
=1,故所求方程的特解为y=2x+[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oNV4777K
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考研数学二
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