[2005年] 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－x2)y＂一xy′+y=0，并求其满足y∣x=0=1，y′∣x=0=2的特解．

admin2019-05-10 42

问题 [2005年] 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－x²)y＂一xy′+y=0，并求其满足y∣_x=0=1，y′∣_x=0=2的特解．

选项

答案所给方程为变系数方程，一般直接求解比较困难．给出了自变量替换后，可转化为常系数微分方程，并可求得其通解．为此先将y′，y＂转化为[*]，再用二阶常系数线性微分方程的求解方法求解．注意到y是x的函数，x为t的函数，因而y为t的复合函数x为中间变量，则 [*] =(1一cos²t)[*]=(1一x²)y＂一xy′．于是原方程可化为[*]+y=0，其特征方程为r²+1=0，解得r_1,2=±i．于是此方程的通解为 y=C₁cost+C₂sint．于是原方程的通解为y=C₁x+C₂[*] 由y∣_x=0=1，y′∣_x=0=2得C₁=2，C₂=1，故所求方程的特解为y=2x+[*].

解析

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考研数学二

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[2005年] 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－x2)y＂一xy′+y=0，并求其满足y∣x=0=1，y′∣x=0=2的特解．

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