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  3. [2005年] 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－x2)y＂一xy′+y=0，并求其满足y∣x=0=1，y′∣x=0=2的特解．

[2005年] 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－x2)y＂一xy′+y=0，并求其满足y∣x=0=1，y′∣x=0=2的特解．

admin2019-05-10  40
问题 [2005年]  用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－x2)y＂一xy′+y=0，并求其满足y∣x=0=1，y′∣x=0=2的特解．
选项
答案所给方程为变系数方程，一般直接求解比较困难．给出了自变量替换后，可转化为常系数微分方程，并可求得其通解．为此先将y′，y＂转化为[*]，再用二阶常系数线性微分方程的求解方法求解． 注意到y是x的函数，x为t的函数，因而y为t的复合函数x为中间变量，则 [*] =(1一cos2t)[*]=(1一x2)y＂一xy′． 于是原方程可化为[*]+y=0，其特征方程为r2+1=0，解得r1,2=±i．于是此方程的通解为 y=C1cost+C2sint．于是原方程的通解为y=C1x+C2[*] 由y∣x=0=1，y′∣x=0=2得C1=2，C2=1，故所求方程的特解为y=2x+[*].
解析
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考研数学二

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