2. 考研
  3. 设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k>0)，求球体的质心位置。

设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k>0)，求球体的质心位置。

admin2018-12-27  40
问题 设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k>0)，求球体的质心位置。
选项
答案以球心为原点O，射线OP0为Oz轴负向，建立坐标系如图6一10所示。 [*] 点P0的坐标为(0，0，－R)，球面的方程为x2+y2+z2=R2。球面所围的区域记为Ω，球面及所围区域内任一点与P0的距离 [*] 故球体的体密度 ρ=k[x2+y2+(z+R)2]，k>0。 设Ω的质心位置(坐标)为[*]由对称性得[*]而 [*] 利用球面坐标计算上述三重积分，得 [*] 故[*]因此球体Ω的重心位置为[*]
解析
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考研数学一

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