设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k>0)，求球体的质心位置。

admin2018-12-27 39

问题设有一半径为R的球体，P₀是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到P₀的距离的平方成正比(比例常数k>0)，求球体的质心位置。

选项

答案以球心为原点O，射线OP₀为Oz轴负向，建立坐标系如图6一10所示。 [*] 点P₀的坐标为(0，0，－R)，球面的方程为x²+y²+z²=R²。球面所围的区域记为Ω，球面及所围区域内任一点与P₀的距离 [*] 故球体的体密度 ρ=k[x²+y²+(z+R)²]，k>0。设Ω的质心位置(坐标)为[*]由对称性得[*]而 [*] 利用球面坐标计算上述三重积分，得 [*] 故[*]因此球体Ω的重心位置为[*]

解析

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考研数学一

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设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k>0)，求球体的质心位置。

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