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设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k>0),求球体的质心位置。
设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k>0),求球体的质心位置。
admin
2018-12-27
14
问题
设有一半径为R的球体,P
0
是此球的表面上一个定点,球体上任一点的密度与该点到P
0
的距离的平方成正比(比例常数k>0),求球体的质心位置。
选项
答案
以球心为原点O,射线OP
0
为Oz轴负向,建立坐标系如图6一10所示。 [*] 点P
0
的坐标为(0,0,-R),球面的方程为x
2
+y
2
+z
2
=R
2
。球面所围的区域记为Ω,球面及所围区域内任一点与P
0
的距离 [*] 故球体的体密度 ρ=k[x
2
+y
2
+(z+R)
2
],k>0。 设Ω的质心位置(坐标)为[*]由对称性得[*]而 [*] 利用球面坐标计算上述三重积分,得 [*] 故[*]因此球体Ω的重心位置为[*]
解析
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0
考研数学一
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