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设a<b,证明不等式 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx.
设a<b,证明不等式 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx.
admin
2019-02-26
15
问题
设a<b,证明不等式
[∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx.
选项
答案
构造辅助函数 F(t)=[∫
a
t
f(x)g(x)dx]
2
-∫
a
t
f
2
(x)dx ∫
a
t
g
2
(x)dx, 则F(a)=0,且 F’(t)=2f(t)g(t)∫
a
t
f(x)g(x)dx-f
2
(x)∫
a
t
g
2
(x)dx-g
2
(t)∫
a
t
f
2
(x)dx =∫
a
t
[2f(x)g(x)f(t)g(t)-f
2
(t)g
2
(x)-g
2
(t)f
2
(x)]dx =-∫
a
t
[f(t)g(x)-g(t)f(x)]
2
dx≤0, 所以F(b)≤0,即[∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
-∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx≤0,即 [∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx.
解析
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考研数学一
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