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  3. 设a＜b，证明不等式 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．

设a＜b，证明不等式 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．

admin2019-02-26  64
问题 设a＜b，证明不等式
[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．
选项
答案构造辅助函数 F(t)=[∫atf(x)g(x)dx]2－∫atf2(x)dx ∫atg2(x)dx， 则F(a)=0，且 F’(t)=2f(t)g(t)∫atf(x)g(x)dx－f2(x)∫atg2(x)dx－g2(t)∫atf2(x)dx =∫at[2f(x)g(x)f(t)g(t)－f2(t)g2(x)－g2(t)f2(x)]dx =－∫at[f(t)g(x)－g(t)f(x)]2dx≤0， 所以F(b)≤0，即[∫abf(x)g(x)dx]2－∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx≤0，即 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．
解析
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考研数学一

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