已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

admin2018-01-26  30

问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
    l1:ax+2by+3c=0,
    l2:bx+2cy+3a=0,
    l3:cx+2ay+3b=0,
试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

选项

答案必要性:设三条直线l1,l2,l3交于一点,则其线性方程组 [*] 有唯一解,故系数矩阵A=[*]与增广矩阵[*]的秩均为2,于是[*]=0。 因为 [*] =6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) =3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2], 但根据题设可知(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故 a+b+c=0。 充分性:由a+b+c=0,则从必要性的证明中可知,[*]=0,故[*]<3。由于故r(A)=2。于是 r(A)=[*]=2。 因此方程组(*)有唯一解,即三条直线l1,l2,l3交于一点。

解析
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