设随机变量X和Y的概率分布分别为 且P(X2=Y2)=1。 (Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ)求Z=XY的概率分布; (Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY。

admin2018-04-11  43

问题 设随机变量X和Y的概率分布分别为

且P(X2=Y2)=1。
(Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)求Z=XY的概率分布;
(Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY

选项

答案(Ⅰ)由于P(X2=Y2)=1,因此P(X2≠Y2)=0,故P(X=0,Y=1)=0,因此, P(X=1,Y=1)=P(x=1,Y=1)+P(X=0,Y=1)=P(Y=1)=[*]。 再由P(X =1,Y=0)=0可知 P(X=0,Y=0)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=0)=P(Y=0)=[*]。 同样,由P(X=0,Y=—1)=0可知 P(X=1,Y=一1)=P(X=1,Y=一1)+P(X=0,Y=一1)=P(Y=一1)=[*]。 这样,可以写出(X,Y)的联合分布如下: [*] (Ⅱ)Z=XY可能的取值有一1,0,1,其中 P(Z=一1)=P(X=1,Y=一1)=[*], P(Z=1)=P(X=1,Y=1)=[*], 则有P(Z=0)=[*]。 因此,Z=XY的分布律为 [*] (Ⅲ)E(X)=[*],E(Y)=0,E(XY)=0,故 Cov(X,Y) = E(XY) — E(X)E(Y) = 0, [*]

解析
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