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设α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt是两个线性无关的n维向量组,证明:向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ,γ既可由α1,α2,…,αs线性表出,也可由卢β1,β2,…,βt线性表出.
设α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt是两个线性无关的n维向量组,证明:向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ,γ既可由α1,α2,…,αs线性表出,也可由卢β1,β2,…,βt线性表出.
admin
2018-06-12
98
问题
设α
1
,α
2
,…,α
s
和β
1
,β
2
,…,β
t
是两个线性无关的n维向量组,证明:向量组α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ,γ既可由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,也可由卢β
1
,β
2
,…,β
t
线性表出.
选项
答案
必要性.因为α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
线性相关,故存在不全为0的k
1
,k
2
,…,k
s
,l
1
,l
2
,…,l
t
使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
+l
1
β
1
+l
2
β
2
+…+l
t
β
t
=0,令 γ=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=-l
1
β
1
-l
2
β
2
-…-l
t
β
t
, 则必有γ≠0.否则 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0 且-l
1
β
1
-l
2
β
2
-…-l
t
β
t
=0. 由于α
1
,α
2
,…,α
s
与β
1
,β
2
,…,β
t
均线性无关,故k
1
=k
2
=…=k
s
=0,l
1
=l
2
=…=l
t
=0,这与k
1
,k
2
,…,k
s
,l
1
,l
2
,…,l
t
不全为0相矛盾.从而有非0的γ,它既可由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,也可由β
1
,β
2
,…,β
t
线性表出. 充分性.由于有非0的γ使 γ=χ
1
α
1
+χ
2
α
2
+…χ
s
α
s
且γ=y
1
β
1
+y
2
β
2
+…+y
t
β
t
, 那么χ
1
,χ
2
,…,χ
s
与y
1
,y
2
,…,y
t
必不全为0.从而 χ
1
α
1
+χ
2
α
2
+…+χ
s
α
s
-y
1
β
1
-y
2
β
2
-…-y
t
β
t
=0, 即α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
,线性相关.
解析
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考研数学一
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