设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由卢β1，β2，…，βt线性表出．

admin2018-06-12 97

问题设α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，也可由卢β₁，β₂，…，β_t线性表出．

选项

答案必要性．因为α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性相关，故存在不全为0的k₁，k₂，…，k_s，l₁，l₂，…，l_t使得k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＋l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t＝0，令 γ＝k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝－l₁β₁－l₂β₂－…－l_tβ_t，则必有γ≠0．否则 k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0 且－l₁β₁－l₂β₂－…－l_tβ_t＝0．由于α₁，α₂，…，α_s与β₁，β₂，…，β_t均线性无关，故k₁＝k₂＝…＝k_s＝0，l₁＝l₂＝…＝l_t＝0，这与k₁，k₂，…，k_s，l₁，l₂，…，l_t不全为0相矛盾．从而有非0的γ，它既可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，也可由β₁，β₂，…，β_t线性表出．充分性．由于有非0的γ使 γ＝χ₁α₁＋χ₂α₂＋…χ_sα_s且γ＝y₁β₁＋y₂β₂＋…＋y_tβ_t，那么χ₁，χ₂，…，χ_s与y₁，y₂，…，y_t必不全为0．从而 χ₁α₁＋χ₂α₂＋…＋χ_sα_s－y₁β₁－y₂β₂－…－y_tβ_t＝0，即α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t，线性相关．

解析

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考研数学一

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