设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由卢β1，β2，…，βt线性表出．

admin2018-06-12 66

问题设α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，也可由卢β₁，β₂，…，β_t线性表出．

选项

答案必要性．因为α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性相关，故存在不全为0的k₁，k₂，…，k_s，l₁，l₂，…，l_t使得k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＋l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t＝0，令 γ＝k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝－l₁β₁－l₂β₂－…－l_tβ_t，则必有γ≠0．否则 k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0 且－l₁β₁－l₂β₂－…－l_tβ_t＝0．由于α₁，α₂，…，α_s与β₁，β₂，…，β_t均线性无关，故k₁＝k₂＝…＝k_s＝0，l₁＝l₂＝…＝l_t＝0，这与k₁，k₂，…，k_s，l₁，l₂，…，l_t不全为0相矛盾．从而有非0的γ，它既可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，也可由β₁，β₂，…，β_t线性表出．充分性．由于有非0的γ使 γ＝χ₁α₁＋χ₂α₂＋…χ_sα_s且γ＝y₁β₁＋y₂β₂＋…＋y_tβ_t，那么χ₁，χ₂，…，χ_s与y₁，y₂，…，y_t必不全为0．从而 χ₁α₁＋χ₂α₂＋…＋χ_sα_s－y₁β₁－y₂β₂－…－y_tβ_t＝0，即α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t，线性相关．

解析

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考研数学一

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考研数学一

非齐次方程组的通解是_______．

设α1＝(1，2，3，1)T，α2＝(3，4，7，－1)T，α3＝(2，6，a，6)T，α4＝(0，1，3，a)T，那么a＝8是α1，α2，α3，α4线性相关的()

已知方程组(Ⅰ)及方程组(Ⅱ)的通解为k1[-1，1，1，0]T+k2[2，-1，0，1]T+[-2，-3，0，0]T．求方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，-1，2，0]T．记α=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由．

求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0是常数．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

求y"一2y’一e2x=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．

当x→0+时，下列无穷小中，阶数最高的是()．

设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x—sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系。

求下列定积分：(Ⅰ)I=dx；(Ⅱ)J=sin2xarctanexdx．

前列腺癌最常见的组织学类型是

肛瘘

患者，女，14岁。左面部肿大，畸形，随年龄而增长。检查：左鼻及唇颊增大、下坠，软，面部及躯干皮肤有多处棕色斑。最可能的临床诊断是

A．风湿性心脏病B．心律失常C．二尖瓣狭窄伴关闭不全D．心功能Ⅲ级E．贫血于病因诊断的是()

某教学楼由10层和2层两部分组成，均拟设埋深相同的1层地下室。地基土为均匀的细粒土，场地在勘察深度内未见地下水。以下基础方案中的()不能有效减少高低层的不均匀沉降。

法律意义上的物是指_________的生产资料和消费资料。()

以下属于自物权的是(　　)。

下面不属于需求分析阶段任务的是

Manyoftheemployeesthinktheircareerpathbeginsduringtheiremploymentorwhentheygetajob.Butbasically,ifwelooka

考研数学一

非齐次方程组的通解是_______．

设α1＝(1，2，3，1)T，α2＝(3，4，7，－1)T，α3＝(2，6，a，6)T，α4＝(0，1，3，a)T，那么a＝8是α1，α2，α3，α4线性相关的()

已知方程组(Ⅰ)及方程组(Ⅱ)的通解为k1[-1，1，1，0]T+k2[2，-1，0，1]T+[-2，-3，0，0]T．求方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，-1，2，0]T．记α=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由．

求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0是常数．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

求y"一2y’一e2x=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．

当x→0+时，下列无穷小中，阶数最高的是()．

设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x—sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系。

求下列定积分：(Ⅰ)I=dx；(Ⅱ)J=sin2xarctanexdx．

前列腺癌最常见的组织学类型是

肛瘘

患者，女，14岁。左面部肿大，畸形，随年龄而增长。检查：左鼻及唇颊增大、下坠，软，面部及躯干皮肤有多处棕色斑。最可能的临床诊断是

A．风湿性心脏病B．心律失常C．二尖瓣狭窄伴关闭不全D．心功能Ⅲ级E．贫血于病因诊断的是()

某教学楼由10层和2层两部分组成，均拟设埋深相同的1层地下室。地基土为均匀的细粒土，场地在勘察深度内未见地下水。以下基础方案中的()不能有效减少高低层的不均匀沉降。

法律意义上的物是指_________的生产资料和消费资料。()

以下属于自物权的是( )。

下面不属于需求分析阶段任务的是

Manyoftheemployeesthinktheircareerpathbeginsduringtheiremploymentorwhentheygetajob.Butbasically,ifwelooka

以下属于自物权的是(　　)。