设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由卢β1，β2，…，βt线性表出．

admin2018-06-12 98

问题设α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，也可由卢β₁，β₂，…，β_t线性表出．

选项

答案必要性．因为α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性相关，故存在不全为0的k₁，k₂，…，k_s，l₁，l₂，…，l_t使得k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＋l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t＝0，令 γ＝k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝－l₁β₁－l₂β₂－…－l_tβ_t，则必有γ≠0．否则 k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0 且－l₁β₁－l₂β₂－…－l_tβ_t＝0．由于α₁，α₂，…，α_s与β₁，β₂，…，β_t均线性无关，故k₁＝k₂＝…＝k_s＝0，l₁＝l₂＝…＝l_t＝0，这与k₁，k₂，…，k_s，l₁，l₂，…，l_t不全为0相矛盾．从而有非0的γ，它既可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，也可由β₁，β₂，…，β_t线性表出．充分性．由于有非0的γ使 γ＝χ₁α₁＋χ₂α₂＋…χ_sα_s且γ＝y₁β₁＋y₂β₂＋…＋y_tβ_t，那么χ₁，χ₂，…，χ_s与y₁，y₂，…，y_t必不全为0．从而 χ₁α₁＋χ₂α₂＋…＋χ_sα_s－y₁β₁－y₂β₂－…－y_tβ_t＝0，即α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t，线性相关．

解析

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考研数学一

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考研数学一

设n元齐次线性方程组Aχ＝0的系数矩阵A的秩为r，则Aχ＝0有非零解的充分必要条件是()

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已知线性方程组有无穷多解，而A是3阶矩阵，且分别是A关于特征值1，－1，0的三个特征向量，求矩阵A．

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设在一个空间直角坐标系中，有3张平面的方程：P1：χ＋2y＋3z＝3；P2：2χ一2y＋2az＝0；P3：χ－ay＋z＝b．已知它们两两相交于3条互相平行的不同直线，求a，b应该满足的条件．

求下列曲面的方程：以曲线为母线，绕z轴旋转一周而生成的曲面；

设函数f(x)在区间[a，+∞)内连续，且当x＞a时，f’(x)＞l＞0，其中l为常数．若f(a)＜0，则在区间内方程f(x)=0的实根个数为()

设函数f(x)=，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点试求曲线L的方程；

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酊剂、注射剂贮存时室温在多少度为宜

下列哪个建筑物的桩基应进行沉降验算?

会计凭证按其编制程序和用途不同，分为(　　)。

企业对投资性房地产无论采用何种计量模式，均应计提折旧或进行摊销。()

(2017·吉林)思维的重要特征是()

刑法理论上所说的处断的一罪是指(　　)。

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