设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由卢β1，β2，…，βt线性表出．

admin2018-06-12 52

问题设α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，也可由卢β₁，β₂，…，β_t线性表出．

选项

答案必要性．因为α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性相关，故存在不全为0的k₁，k₂，…，k_s，l₁，l₂，…，l_t使得k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＋l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t＝0，令 γ＝k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝－l₁β₁－l₂β₂－…－l_tβ_t，则必有γ≠0．否则 k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0 且－l₁β₁－l₂β₂－…－l_tβ_t＝0．由于α₁，α₂，…，α_s与β₁，β₂，…，β_t均线性无关，故k₁＝k₂＝…＝k_s＝0，l₁＝l₂＝…＝l_t＝0，这与k₁，k₂，…，k_s，l₁，l₂，…，l_t不全为0相矛盾．从而有非0的γ，它既可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，也可由β₁，β₂，…，β_t线性表出．充分性．由于有非0的γ使 γ＝χ₁α₁＋χ₂α₂＋…χ_sα_s且γ＝y₁β₁＋y₂β₂＋…＋y_tβ_t，那么χ₁，χ₂，…，χ_s与y₁，y₂，…，y_t必不全为0．从而 χ₁α₁＋χ₂α₂＋…＋χ_sα_s－y₁β₁－y₂β₂－…－y_tβ_t＝0，即α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t，线性相关．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oUg4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

考研数学一

某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自(1)χ4，χ5；(2)χ3，χ5；(3)χ1，χ5；(4)χ2，χ3．那么正确的共有()

由a1＝(1，1，0，0)T，a2＝(1，0，1，1)T所生成的向量空间记作L1，由b1＝(2，－1，3，3)T，b2＝(0，1，－1，－1)T所生成的向量空间记作L2，试证L1＝L2．

已知r(a1，a2，a3)＝2，r(a2，a3，a4)＝3，证明：(1)a1能由a2，a3线性表示；(2)a4不能由a1，a2，a3线性表示．

设α1，α2，α3是3维向量空间R3的一组基，则由基α1，到基α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1的过渡矩阵为()

设A＝那么(P-1)2010A(Q2011)-1＝()

定积分∫01arctan的值等于

设f(x)=arcsinx，ξ为f(x)在[0，t]上拉格朗日中值定理的中值点，0＜t＜1，求极限

求过两点A(0，1，0)，B(-1，2，1)且与直线x=-2+t，y=1-4t，z=2+3t平行的平面方程．

求微分方程xy’+(1一x)y=e2x(x＞0)的满足=1的特解．

二阶常系数非齐次线性微分方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式为()．

铁路混凝土养护期间，温度变化过大容易产生裂缝，各部温差不应超过()。

下列说法错误的是()。

简述资本主义发展到垄断阶段后，国内和国际经济关系产生的变化。

在Access2010中，________在Access2010的七种对象中处于核心地位。

最适生长温度为25℃的细菌是

下列项目中，在利润分配中优先分配的是()。

2013年江苏银行面试真题你刚开始工作，办业务比较慢，客户不是很满意，你怎么处理?

外包成功的关键因素之一是选择具有良好社会形象和信誉、相关行业经验丰富的外包商作为战略合作伙伴。因此，对外包商的资格审查应从技术能力、发展能力和(64)3个方面综合考虑。(2009年11月试题64)

________,heworksverylateatnight.