已知三元二次型χTAχ的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换χ＝Qy化二次型为标准形．

admin2016-05-09 29

问题已知三元二次型χ^TAχ的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换χ＝Qy化二次型为标准形．

选项

答案二次型χ^TAχ的秩为2，即r(A)＝2，所以λ＝0是A的特征值． [*] 所以3是A的特征值，(1，2，1)^T是与3对应的特征向量；－1也是A的特征值，(1，－1，1)^T是与－1对应的特征向量．因为实对称矩阵禾同特征值的特征向量相互正交，设λ＝0的特征向量是(χ₁，χ₂，χ₃)^T，则有 [*] 由方程组[*]解出λ＝0的特征向量是(1，0，－1)^T． [*] 因此，χAχ＝[*](χ₁²＋10χ₂²＋χ₃²＋16χ₁χ₂＋2χ₁χ₃＋16χ₂χ₃)，令[*] 则经正交坐标变换χ＝Qy，有χ^TAχ＝y^T∧y＝3y₁²－y₃²．

解析

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考研数学一

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已知三元二次型χTAχ的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换χ＝Qy化二次型为标准形．

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设A＝，为A中aij(i,j＝1，2，3)的代数余子式，二次型的矩阵为B求正交变换x＝Qy将二次型f(x1，x2，x3)化为标准形

设f(x)是(－∞，＋∞)内以T(T＞0)为周期的连续函数，且f(－x)＝f(x)证明：∫0nTxf(x)dx＝f(x)dx(n为正整数)；

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