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已知三元二次型χTAχ的秩为2,且 求此二次型的表达式,并求正交变换χ=Qy化二次型为标准形.
已知三元二次型χTAχ的秩为2,且 求此二次型的表达式,并求正交变换χ=Qy化二次型为标准形.
admin
2016-05-09
44
问题
已知三元二次型χ
T
Aχ的秩为2,且
求此二次型的表达式,并求正交变换χ=Qy化二次型为标准形.
选项
答案
二次型χ
T
Aχ的秩为2,即r(A)=2,所以λ=0是A的特征值. [*] 所以3是A的特征值,(1,2,1)
T
是与3对应的特征向量;-1也是A的特征值,(1,-1,1)
T
是与-1对应的特征向量. 因为实对称矩阵禾同特征值的特征向量相互正交,设λ=0的特征向量是(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
,则有 [*] 由方程组[*]解出λ=0的特征向量是(1,0,-1)
T
. [*] 因此,χAχ=[*](χ
1
2
+10χ
2
2
+χ
3
2
+16χ
1
χ
2
+2χ
1
χ
3
+16χ
2
χ
3
), 令[*] 则经正交坐标变换χ=Qy,有χ
T
Aχ=y
T
∧y=3y
1
2
-y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mgw4777K
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考研数学一
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