α1=(1,0,0,1)T,α2=(1,1,0,0)T,α3=(0,2,一1,一3)T,α4=(0,0,3,a)T,β=(1,b,3,2)T, ①a取什么值时α1,α2,α3,α4线性相关?此时求α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,并且把其

admin2020-07-02  45

问题 α1=(1,0,0,1)T,α2=(1,1,0,0)T,α3=(0,2,一1,一3)T,α4=(0,0,3,a)T,β=(1,b,3,2)T
    ①a取什么值时α1,α2,α3,α4线性相关?此时求α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.
    ②在α1,α2,α3,α4线性相关的情况下,b取什么值时β可用α1,α2,α3,α4线性表示?写出一个表示式.

选项

答案两个小题都关系到秩,α1,α2,α3,α4线性相关[*]r(α1,α2,α3,α4)<4;β可用α1,α2,α3,α4线性表示[*](α1,α2,α3,α4,β)=r(α1,α2,α3,α4).因此应该从计算这两个秩着手. 以α1,α2,α3,α4,β为列向量构造矩阵(α1,α2,α3,α4,β),然后用初等行变换把它化为阶梯形矩阵: [*] ①r(α1,α2,α3,α4)<4[*]a=3.α1,α2,α3是α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,并且α4=一6α1+6α2—3α3. ②r(α1,α2,α3,α4,β)=r(α1,α2,α3,α4)=3,则b-2.β=一7α1+8α2—3α3

解析
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