已知α1,α2都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量α3满足Aα3=α2+α3.证明α1,α2,α3线性无关.

admin2018-06-27  31

问题 已知α1,α2都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量α3满足Aα323.证明α1,α2,α3线性无关.

选项

答案根据特征向量的性质,α1,α2都是A的特征向量,特征值不相等,于是它们是线性无关的.根据定理3.2,只用再证明α3不可用α1,α2线性表示. 用反证法.如果α3可用α1,α2表示,设α3=c1α1+c2α2,用A左乘等式两边,得 α23=c1α1+c2α2, 减去原式得 α2=-2c1α1, 与α1,α2线性无关矛盾,说明α3不可用α1,α2线性表示.

解析
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