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  3. (1999年)设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值。

(1999年)设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值。

admin2018-04-17  29
问题 (1999年)设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值。
选项
答案令u=2x-t,则t=2x-u所以dt=一du代入∫0xtf(2x-t)dt=[*]得 ∫0xtf(2x—t)dt=一∫2xx(2x一u)f(u)du=∫x2x(2x一u)f(u)du =2x∫x2xf(u)du—∫x2xuf(u)du=[*] 将等式2x∫x2xf(u)du一∫x2xuf(u)du=[*]两边对x求导得 2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一[2xf(2x).2一xf(x)]=[*] 化简得 2∫x2xf(u)du—xf(x)=[*] 令x=1，得2∫12f(u)du一f(1)=[*]化简得 [*]
解析
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考研数学三

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