(1999年)设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值。

admin2018-04-17 41

问题 (1999年)设函数f(x)连续，且∫₀^xtf(2x-t)dt=

已知f(1)=1，求∫₁²f(x)dx的值。

选项

答案令u=2x-t,则t=2x-u所以dt=一du代入∫₀^xtf(2x-t)dt=[*]得 ∫₀^xtf(2x—t)dt=一∫_2x^x(2x一u)f(u)du=∫_x^2x(2x一u)f(u)du =2x∫_x^2xf(u)du—∫_x^2xuf(u)du=[*] 将等式2x∫_x^2xf(u)du一∫_x^2xuf(u)du=[*]两边对x求导得 2∫_x^2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一[2xf(2x).2一xf(x)]=[*] 化简得 2∫_x^2xf(u)du—xf(x)=[*] 令x=1，得2∫₁²f(u)du一f(1)=[*]化简得 [*]

解析

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