(1998年)设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为试求f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解．

admin2018-07-24 133

问题 (1998年)设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为

试求f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件

的解．

选项

答案V(t)=π∫₁^tf²(x)dx=[*] 即 3∫₁^tf²(x)dx=t²f(t)一f(1) 两边对t求导得 3f²(t)=2tf(t)+t²f’(t) 将上式改写为x²y’=3y²一2xy [*] 从而有 y—x=cx³y 由已知条件求得c=一1，从而所求的解为 y—x=一x³y

解析

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考研数学三

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