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二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12-4y22-4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．
二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12-4y22-4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．
admin
2018-06-27
44
问题
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX在正交变换X=QY下化为10y
1
2
-4y
2
2
-4y
3
2
，Q的第1列为
(1)求A．
(2)求一个满足要求的正交矩阵Q．
选项
答案
标准二次型10y
1
2
-4y
2
2
-4y
3
2
的矩阵为 [*] 则Q
-1
AQ=Q
T
AQ=B，A和B相似．于是A的特征值是10，-4，-4． (1)Q的第1列α
1
=[*]是A的属于10的特征向量，其[*]倍η
1
=(1，2，3)
T
也是属于10的特征向量．于是A的属于-4的特征向量和(1，2，3)
T
正交，因此就是方程 x
1
+2x
2
+3x
3
=0 的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η
2
=(2，-1，0)
T
，η
3
=[*] 建立矩阵方程A(η
1
，η
2
，η
3
)=(10η
1
，-4η
2
，-4η
3
)，用初等变换法解得 [*] (2)将η
2
，η
3
单位化得α
2
=[*](2，-1，0)
T
，α
3
=[*](3，6，-5)
T
． 则正交矩阵Q=(α
1
，α
2
，α
3
)满足要求．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oZk4777K
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考研数学二
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