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设幂级数2+的和函数为S(x),试验证S(x)满足微分方程S’’(x)-S(x)+1=0,并求幂级数的和函数S(x).
设幂级数2+的和函数为S(x),试验证S(x)满足微分方程S’’(x)-S(x)+1=0,并求幂级数的和函数S(x).
admin
2023-03-22
42
问题
设幂级数2+
的和函数为S(x),试验证S(x)满足微分方程S’’(x)-S(x)+1=0,并求幂级数的和函数S(x).
选项
答案
[*] 故S(x)满足微分方程S’’(x)-S(x)+1=0. 二阶常系数非齐次微分方程S’’(x)-S(x)=-1对应的齐次方程为S’’(x)-S(x)=0,其特征函数为r
2
-1=0,解得r=±1,因此对应的齐次微分方程的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
,显然y
*
=1是非齐次微分方程S’’(x)-S(x)+1=0的一个特解,故非齐次微分方程的通解为 S(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-x
+1. 由题设可知,S(0)=2,S’(0)=0,解得C
1
=C
2
=1/2,因此幂级数的和为 S(x)=[*]e
x
+[*]e
-x
+1
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/obMD777K
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考研数学一
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