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  3. 设幂级数2+的和函数为S(x)，试验证S(x)满足微分方程S’’(x)-S(x)+1=0，并求幂级数的和函数S(x)．

设幂级数2+的和函数为S(x)，试验证S(x)满足微分方程S’’(x)-S(x)+1=0，并求幂级数的和函数S(x)．

admin2023-03-22  26
问题 设幂级数2+的和函数为S(x)，试验证S(x)满足微分方程S’’(x)-S(x)+1=0，并求幂级数的和函数S(x)．
选项
答案[*] 故S(x)满足微分方程S’’(x)-S(x)+1=0． 二阶常系数非齐次微分方程S’’(x)-S(x)=-1对应的齐次方程为S’’(x)-S(x)=0，其特征函数为r2-1=0，解得r=±1，因此对应的齐次微分方程的通解为y=C1ex+C2e-x，显然y*=1是非齐次微分方程S’’(x)-S(x)+1=0的一个特解，故非齐次微分方程的通解为 S(x)=C1ex+C2e-x+1． 由题设可知，S(0)=2，S’(0)=0，解得C1=C2=1／2，因此幂级数的和为 S(x)=[*]ex+[*]e-x+1
解析
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考研数学一

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