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判断下列3维向量的集合是不是R3的子空间,如是子空间,则求其维数与一组基: (Ⅰ)W1={(x,y,x)|x>0}; (Ⅱ)W2={x,y,z)|x=0}; (Ⅲ)W3={(x,y,z)|x+y-2z=0}; (Ⅳ)W4:{(x,y,z)|3x-2y+z=
判断下列3维向量的集合是不是R3的子空间,如是子空间,则求其维数与一组基: (Ⅰ)W1={(x,y,x)|x>0}; (Ⅱ)W2={x,y,z)|x=0}; (Ⅲ)W3={(x,y,z)|x+y-2z=0}; (Ⅳ)W4:{(x,y,z)|3x-2y+z=
admin
2016-10-26
54
问题
判断下列3维向量的集合是不是R
3
的子空间,如是子空间,则求其维数与一组基:
(Ⅰ)W
1
={(x,y,x)|x>0};
(Ⅱ)W
2
={x,y,z)|x=0};
(Ⅲ)W
3
={(x,y,z)|x+y-2z=0};
(Ⅳ)W
4
:{(x,y,z)|3x-2y+z=1};
(Ⅴ)W
5
={(x,y,z|
}.
选项
答案
(Ⅰ)W
1
不是子空间,因为W
1
对数乘向量不封闭.例如α=(1,2,3)∈W
1
,但k<0时,kα=(k,2k,3k)[*]W
1
. (Ⅱ)W
2
是子空间.因为α=(0,a,b),β=(0,c,d)∈W
2
,而 α+β=(0,a+c,b+d)∈W
2
, kα=(0,ka,kb)∈W
2
, 即W
2
对于运算封闭,W
2
是子空间.又(0,1,0),(0,0,1)线性无关且能表示W
2
中任一向量,因而是W
2
的一组基,那么dimW
2
=2. (Ⅲ)W
3
是子空间,如α,β∈W
3
,即α,β是齐次方程x+y一2z=0的解.由于α+β,kα仍是解,故α+β∈W
3
, kα∈W
3
,W
3
对运算封闭,是子空间. (-1,1,0),(2,0,1)是基础解系,也就是W
3
的一组基,那么dimW
3
=2. (Ⅳ)W
4
不是子空间.因为非齐次方程组的解相加不再是此方程组的解,即W
4
对加法不封闭. (Ⅴ)W
5
不是子空间,因为条件等同于[*].
解析
要判断W是不是子空间,就是要检查W对于向量的加法及数乘这两个运算是否封闭.如W是子空间,则W中向量的极大线性无关组就是一组基,而向量组的秩就是子空间的维数.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/omu4777K
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