设A,B为n阶方阵,P,Q为n阶可逆矩阵.下列命题不正确的是( )

admin2017-05-18  24

问题 设A,B为n阶方阵,P,Q为n阶可逆矩阵.下列命题不正确的是(    )

选项 A、若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价.
B、若B=PA,则A的行向量组与B的行向量组等价.
C、若B=PAQ,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价.
D、若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价,则A与B等价.

答案C

解析 事实上,将A,B按列分块:A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),则
1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)
    这表明向量组β1,β2,…,βn可由向量组α1,α2,…,αn线性表示.由于Q可逆,从而有A=BQ-1,即(α1,α2,…,αn)=(β1,β2,…,βn)Q-1.这表明α1,α2,…,αn可由向量组β1,β2,…,βn线性表示.从而这两个向量组等价.选项A正确.
    同理将A与B按行分块,由PA=B易知A与B的行向量组等价,从而B、D都正确.事实上,若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价,则此两向量组等秩,从而矩阵A与B等秩,于是A与B等价.
反例:
易见A的行(列)向量组与B的行(列)向量组不等价.所以应选C.
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