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  3. 设A，B为n阶方阵，P，Q为n阶可逆矩阵．下列命题不正确的是( )

设A，B为n阶方阵，P，Q为n阶可逆矩阵．下列命题不正确的是( )

admin2017-05-18  25
问题 设A，B为n阶方阵，P，Q为n阶可逆矩阵．下列命题不正确的是(    )
选项 A、若B=AQ，则A的列向量组与B的列向量组等价．
B、若B=PA，则A的行向量组与B的行向量组等价．
C、若B=PAQ，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价．
D、若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价，则A与B等价．
答案C
解析 事实上，将A，B按列分块：A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，则
(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)
    这表明向量组β1，β2，…，βn可由向量组α1，α2，…，αn线性表示．由于Q可逆，从而有A=BQ-1，即(α1，α2，…，αn)=(β1，β2，…，βn)Q-1．这表明α1，α2，…，αn可由向量组β1，β2，…，βn线性表示．从而这两个向量组等价．选项A正确．
    同理将A与B按行分块，由PA=B易知A与B的行向量组等价，从而B、D都正确．事实上，若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价，则此两向量组等秩，从而矩阵A与B等秩，于是A与B等价．
反例：
易见A的行(列)向量组与B的行(列)向量组不等价．所以应选C．
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考研数学一

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