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设A,B为n阶方阵,P,Q为n阶可逆矩阵.下列命题不正确的是( )
设A,B为n阶方阵,P,Q为n阶可逆矩阵.下列命题不正确的是( )
admin
2017-05-18
41
问题
设A,B为n阶方阵,P,Q为n阶可逆矩阵.下列命题不正确的是( )
选项
A、若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价.
B、若B=PA,则A的行向量组与B的行向量组等价.
C、若B=PAQ,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价.
D、若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价,则A与B等价.
答案
C
解析
事实上,将A,B按列分块:A=(α
1
,α
2
,…,α
n
),B=(β
1
,β
2
,…,β
n
),则
(β
1
,β
2
,…,β
n
)=(α
1
,α
2
,…,α
n
)
这表明向量组β
1
,β
2
,…,β
n
可由向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性表示.由于Q可逆,从而有A=BQ
-1
,即(α
1
,α
2
,…,α
n
)=(β
1
,β
2
,…,β
n
)Q
-1
.这表明α
1
,α
2
,…,α
n
可由向量组β
1
,β
2
,…,β
n
线性表示.从而这两个向量组等价.选项A正确.
同理将A与B按行分块,由PA=B易知A与B的行向量组等价,从而B、D都正确.事实上,若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价,则此两向量组等秩,从而矩阵A与B等秩,于是A与B等价.
反例:
易见A的行(列)向量组与B的行(列)向量组不等价.所以应选C.
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